NP-полнота задачи BH1N

Определение языка [math]BH_{1N}[/math]

Языком [math]BH_{1N}[/math](от англ. bounded halting unary) называется множество троек [math]\langle m, x, 1^{t} \rangle[/math], где [math]m[/math] - недетерминированная машина Тьюринга (НМТ), [math]x[/math] - входные данные и [math]t[/math] - время в унарной системе счисления, таких, что [math]m(x)=1[/math] и время работы машины [math]m[/math] на входе [math]x[/math] [math]T(m, x)\le t[/math]. [math]BH_{1N} = \{ \langle m, x, 1^{t} \rangle | m [/math] — НМТ, [math] m(x)=1, T(m, x)\le t \}[/math]. Так же можно рассматривать языки [math]BH_{1D}[/math], [math]BH_{2N}[/math], [math]BH_{2D}[/math], отличающиеся от [math]BH_{1N}[/math] только детерминированностью машин Тьюринга ([math]D[/math] - детерминированная, [math]N[/math] - недетерминированная) или системой счисления, в которой представляется время (1 - унарная, 2 - бинарная).

Теорема

Язык [math]BH_{1N}[/math] является [math]NP[/math]-полным: [math]BH_{1N}\in NPC[/math].

Доказательство

Для того, чтобы доказать NP-полноту [math]BH_{1}[/math] необходимо установить следующие факты:

1. [math] BH_{1N} \in NP [/math].
2. [math] BH_{1N} \in NPH [/math];

Доказательство принадлежности [math]BH_{1N}[/math] классу NP

Будем использовать в качестве сертификата [math]y[/math] последовательность недетерминированных выборов, которые должна сделать машина [math]m[/math], чтобы допустить слово [math]x[/math]. Длина сертификата меньше, чем [math]ct[/math].

Для проверки сертификата используется программа [math]R(\langle m, x, 1^{t}\rangle, y)[/math], эмулирующая работу недетерминированной машины Тьюринга [math]m[/math] на слове [math]x[/math]. Там, где у машины [math]m[/math] было несколько выборов, [math]R[/math] совершает действие согласно сертификату. При этом замеряется время работы машины [math]t[/math]. Проверяющая программа может проэмулировать [math]m[/math], затратив полиномиальное количество времени.

Если НМТ [math]m[/math] допускает слово [math]x[/math] за время [math]t[/math], то существует последовательность действий, которые совершает машина [math]m[/math], среди которых могут быть и недетерминированные. Следовательно, существует сертификат [math]y[/math]. Если же слово не допускается или допускается, но за время, большее [math]t[/math], то любая последовательность действий не ведет к допуску слова, а значит нет и последовательности недетерминированных выборов, которые могла бы сделать машина [math]m[/math].

Все условия принадлежности классу [math]NP[/math] выполнены.

Доказательство принадлежности [math]BH_{1N}[/math] классу NPH

Теперь докажем, что [math]BH_{1N}[/math] принадлежит классу [math]NPH[/math]. Рассмотрим произвольный язык [math]L[/math] из класса [math]NP[/math]. Для него существует машина Тьюринга [math]m[/math], такая что [math]T(m, x)\le p(|x|), L(m) = L[/math]. Докажем, что [math]L[/math] сводится по Карпу к [math] BH_{1N}[/math]. Рассмотрим функцию [math]f(x) = \langle m, x, 1^{p|x|)}\rangle[/math] по входным данным возвращающую тройку из машины Тьюринга, попадающую под описанные выше условия, входных данных и времени [math]p(|x|)[/math] в унарной системе счисления. Эта функция существует, она своя для каждого языка. Проверим, что [math]x \in L \Leftrightarrow f(x) \in BH_{1N}[/math].

Пусть [math]x \in L[/math]. Тогда [math]m(x) = 1[/math]. Время работы [math]m[/math] не больше [math]p(|x|)[/math], а значит слово [math]x[/math] будет допущено машиной [math]m[/math] за время не больше, чем [math]p(|x|)[/math]. А тогда тройка [math]\langle m,x, 1^{p(|x|)}\rangle = f(x)[/math] будет входить в [math]BH_{1N}[/math] согласно его определению. Пусть [math]x \not\in L[/math]. Тогда [math]m(x) = 0[/math]. Но тогда тройка [math]\langle m, x, 1^{t}\rangle[/math] не принадлежит [math]BH_{1N}[/math] при любом [math]t[/math], а значит и при [math]t = p(|x|)[/math].

Значит произвольный язык из класса [math]NP[/math] сводится по Карпу к [math]BH_{1N}[/math], и [math]BH_{1N} \in NPC[/math]. Что и требовалось доказать.