Топологическая сортировка ориентированного ациклического графа [math]G = (V, E)[/math] представляет собой такое линейное упорядочение всех его вершин, что если [math](u, v) \in E(G)[/math], то [math]u[/math] при таком упорядочении располагается до [math]v\ [/math] (если граф не является ациклическим, такая сортировка невозможна).
Постановка задачи
| Теорема: |
[math]G[/math] — ациклический ориентированный граф, тогда [math]\exists \ \varphi : V \to \{ 1..n \} , uv \in E \Rightarrow \varphi (u) \lt \varphi (v) [/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Определим [math]leave[u][/math] как порядковый номер окраски вершины [math]u[/math] в черный цвет в результате работы алгоритма dfs. Рассмотрим функцию [math]\varphi = n + 1 - leave[u] [/math]. Очевидно, что такая функция подходит под критерий функции [math]\varphi[/math] из условия теоремы, если выполняется следующее утверждение:
| Утверждение: |
[math]G[/math] — ациклический ориентированный граф, тогда [math]uv \in E \Rightarrow leave[u] \gt leave[v][/math] |
| [math]\triangleright[/math] | |
Рассмотрим произвольное ребро [math](u, v)[/math], исследуемое процедурой [math]dfs[/math]. При исследовании вершина [math]v[/math] не может быть серой, так как серые вершины в процессе работы [math]dfs[/math] всегда образуют простой путь в графе, и факт попадания в серую вершину [math]v[/math] означает, что в графе есть цикл из серых вершин, что противоречит условию утверждения. Следовательно, вершина [math]v[/math] должна быть белой либо черной. Если вершина [math]v[/math] — белая, то она становится потомком [math]u[/math], так что [math]leave[u] \gt leave[v][/math]. Если [math]v[/math] — черная, значит, работа с ней уже завершена и значение [math]leave[v][/math] уже установлено. Поскольку мы все еще работаем с вершиной [math]u[/math], значение [math]leave[u][/math] еще не определено, так что, когда это будет сделано, будет выполняться неравенство [math]leave[u] \gt leave[v][/math]. Следовательно, для любого ребра [math](u, v)[/math] ориентированного ациклического графа выполняется условие [math]leave[u] \gt leave[v][/math]. | | [math]\triangleleft[/math] |
Таким образом, теорема доказана. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Алгоритм
Из определения функции [math]\varphi[/math] мгновенно следует алгоритм топологической сортировки:
doTopSort(graph G) {
fill(visited, false);
time = 0;
for (Vertex v : v in graph G) {
if (!visited[v]) {
dfs(v);
}
}
}
dfs(u) {
visited[u] = true;
for (Vertex v : exists edge uv) {
if (!visited[v]) {
dfs(v);
}
}
topSortAnswer[u] = n - time++;
}
Время работы этого алгоритма соответствует времени работы алгоритма поиска в глубину, то есть равно [math]O(V+E)[/math].
Источники
- Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. Алгоритмы: построение и анализ, второе издание. Пер. с англ. — Издательский дом "Вильямс", 2007. — 1296 с. — Глава 22. Элементарные алгоритмы для работы с графами.
