| Определение: |
| Пусть неориентированный граф [math] G [/math] имеет [math] n [/math] вершин: [math] v_1, v_2, \ldots, v_n [/math]. Пусть [math] d_i = \deg v_i \mbox{ } (i = \overline{1, n}) [/math] и вершины графа упорядочены таким образом, что [math] d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_n [/math]. Последовательность [math] d_1, d_2, \ldots, d_n [/math] называют последовательностью степеней графа [math] G [/math]. |
| Лемма (О добавлении ребра в граф): |
Пусть неориентированный граф [math] G' [/math] получен из неориентированного графа [math] G [/math] добавлением одного нового ребра [math] e [/math]. Тогда последовательность степеней графа [math] G [/math] мажорируется последовательностью степеней графа [math] G' [/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Замечание: Если в неубывающей последовательности [math] d_1, d_2, \ldots, d_n [/math] увеличить на единицу число [math] d_i [/math], а затем привести последовательность к неубывающему виду, переставив число [math] d_i + 1 [/math] на положенное место, то исходная последовательность будет мажорироваться полученной.
При добавлении в граф ребра [math] e = uv, \mbox{ } (u \neq v) [/math], степени вершин [math] u [/math] и [math] v [/math] увеличатся на единицу. Для доказательства леммы, дважды воспользуемся замечанием.
Значит, последовательность степеней полученного графа мажорирует последовательность степеней исходного, q.e.d. |
| [math]\triangleleft[/math] |
{{Теорема
|about=
Хватал
|statement=
Пусть:
- [math] G [/math] — связный граф,
- [math] n = |VG| \geq 3 [/math] — количество вершин,
- [math] d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_n [/math] — его последовательность степеней.
Тогда если [math] \forall k \in \mathbb N [/math] верна импликация:
[math] d_k \leq k \lt n/2 \rightarrow d_{n - k} \geq n - k, (*) [/math]
то граф [math] G [/math] гамильтонов.
|proof=
Для доказательства теоремы, докажем 3 леммы.
| Лемма (1): |
[math] d_k \leq k \Leftrightarrow |\{ v \in VG | d_v \leq k \}| \geq k. [/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
"[math] \Rightarrow [/math]" Пусть:
- [math] d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_k [/math],
- [math] d_k \leq k [/math],
- [math] |\{ d_1, d_2, \ldots, d_k \}| = k [/math].
[math] \{ d_1, d_2, \ldots, d_k \} \subseteq \{ v \in VG | d_v \leq k \} \Rightarrow |\{ v \in VG | d_v \leq k \}| \geq k [/math], q.e.d.
"[math] \Leftarrow [/math]" Пусть:
- [math] |\{ v \in VG | d_v \leq k \}| = k + p [/math],
- [math] p \geq 0 [/math].
Расположим вершины в неубывающем порядке их степеней.
[math] d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_k \leq \ldots \leq d_{k + p} \leq k \Rightarrow d_k \leq k [/math], q.e.d. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Лемма (2): |
[math]\ d_{n - k} \geq n - k \Leftrightarrow |\{ v \in VG | d_v \geq n - k \}| \geq k + 1. [/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
"[math] \Rightarrow [/math]" Пусть:
- [math] d_{n - k} \geq n - k [/math],
- [math] d_{n - k} \leq d_{n - k + 1} \leq \ldots \leq d_n [/math],
- [math] |\{ d_{n - k}, d_{n - k + 1}, \ldots , d_n \}| = k + 1 [/math].
[math] \{ d_{n - k}, d_{n - k + 1}, \ldots , d_n \} \subseteq \{ v \in VG | d_v \geq n - k \} \Rightarrow \{ v \in VG | d_v \geq n - k \} \geq k + 1 [/math], q.e.d.
"[math] \Leftarrow [/math]" Пусть:
- [math] |\{ v \in VG | d_v \geq n - k \}| = k + 1 + p [/math],
- [math] p \geq 0 [/math].
Расположим вершины в неубывающем порядке их степеней.
[math] d_n \geq d_{n - 1} \ldots \geq d_{n - k} \geq \ldots \geq d_{n - k - p} \geq n - k \Rightarrow d_{n - k} \geq n - k [/math], q.e.d. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Лемма (3): |
Если импликация [math] (*) [/math] верна для некоторой последовательности степеней [math] d [/math], то она верна и для неубывающей последовательности [math] d' [/math], мажорирующей [math] d [/math]. |
Приведем доказательство от противного.
Пусть существует граф с числом вершин [math] n \geq 3 [/math], удовлетворяющий [math] (*) [/math], но негамильтонов.
Будем добавлять в него рёбра до тех пор, пока не получим максимально возможный негамильтонов граф [math] G [/math] (то есть добавление еще одного ребра сделает граф [math] G [/math] гамильтоновым).
По лемме о добавлении ребра и лемме №3 импликация [math] (*) [/math] остается верной для графа [math] G [/math].
Очевидно, что граф [math]\ K_n [/math] гамильтонов при [math] k \geq 3 [/math].
Будем считать [math] G [/math] максимальным негамильтоновым остовным подграфом графа [math] K_n [/math].
Выберем две несмежные вершины [math] u [/math] и [math] v [/math] графа [math] G [/math], такие что [math] \deg u + \deg v [/math] — максимально.
Будем считать, что [math] \deg u \leq \deg v [/math].
Добавив к [math] G [/math] новое ребро [math] e = uv [/math], получим гамильтонов граф [math] G + e [/math].
Рассмотрим гамильтонов цикл графа [math] G + e [/math]: в нём обязательно присутствует ребро [math] e [/math].
Отбрасывая ребро [math] e [/math], получим гамильтонову [math] (u, v) [/math]-цепь в графе [math] G [/math]: [math] u = u_1 \rightarrow u_2 \rightarrow \ldots \rightarrow u_n = v [/math].
Пусть [math] S = \{ i | e_i = u_1 u_{i + 1} \in EG\}, T = \{ i |f_i = u_i u_n \in EG\} [/math].
| Лемма: |
[math] S \cap T = \varnothing [/math], иначе в графе [math] G [/math] есть гамильтонов цикл. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Пусть [math] j \in S \cap T [/math]. Тогда получим гамильтонов цикл графа [math] G [/math]: [math] u_1 \rightarrow^{e_j} u_{j + 1} \rightarrow u_{j + 2} \rightarrow \ldots \rightarrow u_n \rightarrow^{f_j} u_j \rightarrow u_{j - 1} \rightarrow \ldots \rightarrow u_1 [/math], что противоречит условию, что граф негамильтонов. Значит, [math] S \cap T \lt /tex
}}
Из определений \lt tex\gt S [/math] и [math] T [/math] следует, что [math] S \cup T \subseteq \{1, 2, ..., n - 1 \} [/math], поэтому [math] 2 \deg u \leq \deg u + \deg v = |S| + |T| = |S \cup T| \lt n [/math], то есть [math] \deg u \lt n/2 [/math].
Так как [math] S \cap T = \varnothing [/math], ни одна вершина [math] u_j [/math] не смежна с [math] v = u_n [/math] (для [math] j \in S [/math]). В силу выбора [math] u [/math] и [math] v [/math], получим, что [math] \deg u_j \leq \deg u [/math]. Положим, что [math] k = \deg u [/math].
Тогда имеется по крайней мере [math] |S| = \deg u = k [/math] вершин, степень которых не превосходит k.
По лемме №1, выполняется: [math] d_k \leq k \lt n/2 [/math].
Исходя из [math] (*) [/math], получаем: [math] d_{n - k} \geq n - k [/math].
По лемме №2, имеется по крайней мере [math] k + 1 [/math] вершин, степень которых не меньше [math] n - k [/math].
Так как [math] k = \deg u [/math], то вершина [math] u [/math] может быть смежна максимум с [math] k [/math] из этих [math] k+1 [/math] вершин. Значит, существует вершина [math] w [/math], не являющаяся смежной с [math] u [/math] и для которой [math] \deg w \geq n - k [/math]. Тогда получим, что [math] \deg u + \deg w \geq k + (n - k) = n \gt \deg u + \deg v [/math], что противоречит выбору [math] u [/math] и [math] v [/math].
Значит, предположение неверно, q.e.d. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Литература
- Асанов М., Баранский В., Расин В.: Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы
