Алгоритм масштабирования потока

Алгоритм масштабирования потока — алгоритм поиска максимального потока путём регулирования пропускной способности рёбер. Этот алгоритм работает в предположении, что все пропускные способности рёбер целые.

Суть

Пусть существует граф [math]G[/math] и [math]\forall (u,v)\in E\colon c_{(u,v)}\in\mathbb N[/math]. Суть алгоритма в нахождении сперва путей с высокой пропускной способностью, чтобы сразу сильно увеличивать поток по этим путям, а затем по всем остальным. Пусть [math]U[/math] - максимальная пропускная способность. Введём параметр [math]\Delta = 2^{\lfloor\log_2U\rfloor}[/math]. На каждом шаге будем искать в остаточном графе увеличивающие пути с пропускной способностью не меньше, чем [math]\Delta[/math], и увеличивать поток вдоль этих путей. В конце шага будем уменьшать [math]\Delta[/math] в два раза, и на следующем шаге будем искать увеличивающий путь с новым значением параметра. При значении [math]\Delta[/math], равном единице, данный алгоритм становится идентичен алгоритму Эдмондса — Карпа. Из этого следует, что алгоритм корректен.

Оценка сложности

На каждом шаге алгоритм выполняет в худшем случае [math]O(E)[/math] увеличений потока. Докажем это. Пусть [math]\Delta = 2^k[/math]. В конце шага множество вершин графа можно разбить на две части: [math]A_k[/math] и [math]\overline{A_k}[/math]. Все рёбра, выходящие из [math]A_k[/math], имеют остаточную пропускную способность менее [math]2^k[/math]. Наибольшее количество рёбер между [math]A_k[/math] и [math]\overline{A_k}[/math] равно [math]E[/math]. Следовательно, остаточный поток (поток, который может быть получен на оставшихся шагах) на фазе с текущим значением [math]k[/math] максимально составляет [math]2^kE[/math]. Каждый увеличивающий путь при данном [math]k[/math] имеет пропускную способность как минимум [math]2^k[/math]. На предыдущем шаге, с масштабом [math]k+1[/math], остаточный поток ограничен [math]2^{k+1}E[/math]. Значит максимальное число появившихся увеличивающих путей равно [math]2E[/math]. Увеличивающий путь можно найти за [math]O(E)[/math], используя BFS. Количество шагов [math]O(\log_2U)[/math]. Итоговая сложность [math]O(E^2\log_2U)[/math].

Псевдокод

Capacity-Scaling
    [math]f\leftarrow 0[/math]
    [math]\Delta\leftarrow 2^{\lfloor\log_2U\rfloor}[/math]
    while [math]\Delta\gt 0[/math]
        do while в [math]G_f[/math] существует [math]s-t[/math] путь с пропускной способностью большей [math]\Delta[/math]
               do [math]P\leftarrow[/math] путь с пропускной способностью большей [math]\Delta[/math]
                  [math]\delta\leftarrow\min\{c_{ij}\colon(i,j)\in P\}[/math]
                  увеличить поток по рёбрам [math]P[/math] на [math]\delta[/math]
                  обновить [math]G_f[/math]
                  [math]f\leftarrow f+\delta[/math]
           [math]\Delta\leftarrow\Delta/2[/math]

Литература

• Olivier Juan, Yuri Boikov: Capacity Scaling for Graph Cuts in Vision
• Algorithm Tutorials. Maximum Flow: Augmenting Path Algorithms Comparison