Материал из Викиконспекты
| Определение: |
Множество [math]X[/math] называется перечислимым, если выполняется хотя бы одно условие из приведенных ниже:
- существует программа, перечисляющая все элементы [math]X[/math] в произвольном порядке.
- [math]X[/math] является областью определения вычиcлимой функции [math]f[/math].
- [math]X[/math] является областью значений вычиcлимой функции [math]f[/math].
- Функция [math]f_X(x) = \begin{cases}
1, & x \in X \\
\bot, & x \notin X
\end{cases}[/math] — вычислима.
|
| Теорема: |
Определения 1, 2, 3, 4 эквивалентны. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
- 1 [math]\Rightarrow[/math] 4
Пусть [math]p[/math] — программа, перечисляющая [math]X[/math].
Приведем программу [math]q[/math], вычисляющую функцию [math]f_X(x):[/math]
[math]q(x)[/math]
for [math]k = 1 \ .. \ \infty[/math]
if [math] p(k) == x [/math]
return 1
- 2 [math]\Rightarrow[/math] 1, 3 [math]\Rightarrow[/math] 1
Пусть [math]X[/math] — область определения вычислимой функции [math]f[/math], вычисляемой программой [math]p[/math].
Введем обозначение: [math]p(x)|_{TL}[/math] — остановить [math]p(x)[/math] через [math]TL[/math] секунд. Если [math]p(x)|_{TL}[/math] за [math]TL[/math] секунд так и не вернула значение функции [math]f(x)[/math], то возвращаем [math]\bot[/math].
Тогда [math]X[/math] перечисляется такой программой:
[math]q()[/math]
for [math] TL = 1 \ .. \ \infty [/math]
for [math] k = 1 \ ..\ TL[/math]
if [math]p(k)|_{TL} \neq \bot [/math]
print[math](k)[/math]
Если print[math](k)[/math] заменить на print([math]p(k)|_{TL}[/math]), то [math]q[/math] станет перечислять область значений [math]f(x)[/math].
- 4 [math]\Rightarrow[/math] 2, 4 [math]\Rightarrow[/math] 3
Пусть дана [math]f_X(x)[/math].
Введем новую функцию [math]g(x) = x[/math], если [math]f_X(x) \neq \bot[/math].
Очевидно, она вычислима, и ее область определения и область значений совпадают с [math]X[/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Литература
- Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритов. Часть 3. Вычислимые функции — М.: МЦНМО, 1999
