СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)
Система непересекающихся множеств. Реализация с помощью леса корневых деревьев. (disjoint set union (DSU) или Union-Find)
Содержание
Реализация
Каждое множество хранится в виде дерева. Элементы множества хранятся в узлах дерева. У каждого множества есть его представитель — один из элементов этого множества, он хранится в корне дерева. В каждом узле, кроме корня, хранится ссылка на "родителя".
При объединении двух множеств, корень одного дерева подвешивается к другому (операция union). Таким образом, чтобы определить, в каком множестве находится элемент достаточно пройтись по ссылкам по дереву вверх до корня (операция get).
Без использования дополнительных "улучшений", такое дерево может выродиться в линейный список, где get будет работать за линейное время, и никакого выигрыша по сравнению с наивными реализацими не будет. Выигрыш в скорости можно получить, используя две эвристики: объединение по рангу (union by rank) и сжатие пути (path compression).
Объединение по рангу
Эта эвристика аналогична весовой эвристике у связных списков. Идея в том, чтобы при объединении подвешивать дерево с меньшей глубиной к дереву с большей.
Вместо того, чтобы явно хранить высоту дерева, можно хранить его ранг, который по сути является некой верхней оценкой высоты дерева. У дерева, состоящего ровно из одного элемента ранг равен 1. При объединении дерево с меньшим рангом подвешивается к дереву с большим, и ранг объединенного дерева становится равным большему из этих двух рангов. Если ранги объединяемых деревьев равны, то не важно какое к какому дереву подвешивать, но ранг объединенного дерева следует делать большим на 1.
Сжатие пути
Эта эвристика несколько модифицирует операцию get. Операция get вызывается для элемента x, проходит через несколько вершин и попадает в корень. Все пройденные в этом процессе вершины принадлежат тому же множеству, что и x. Поэтому подвесим (изменим ссылки) их напрямую к корню дерева и, таким образом, уменьшим его высоту. При нерекурсивной реализации операция get становится двухпроходной.
Асимптотика
- см. также Анализ реализации с ранговой эвристикой
| Операция | Истинное время | Амортизированное время |
|---|---|---|
| get | ||
| union |
- m — общее количество операций
- n — полное количество элементов
- — функция, обратная к функции Аккермана — очень медленно растущая функция и практически для всех разумных значений не превышает 4, поэтому ее можно считать константой.
Таким образом, общее время работы линейно зависит от количества операций.
Ссылки
- Система непересекающихся множеств — описание этой реализации на habrahabr.ru
- Функция Аккермана — Википедия
Литература
- Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. Алгоритмы. Построение и анализ — Вильямс, 2010. - 1296с. — ISBN 978-5-8459-0857-4, 0-07-013151-1. (стр 589)
