Сведение по Карпу

Определение

Язык [math]A\,\![/math] сводится по Карпу к языку [math]B\,\![/math], если существует функция [math]f(x)\,\![/math] такая, что [math]x \in A[/math] тогда и только тогда, когда [math]f(x) \in b[/math].

Обычно требуют, чтобы сводящая функция была вычислима за полиномиальное время от длины входа.

Пример

Рассмотрим следующие языки: [math]IND[/math] и [math]CLIQUE[/math] — множества пар [math]\langle G, k \rangle [/math], где [math]G[/math] — граф, [math]k[/math] — натуральное число. Пара [math]\langle G, k \rangle [/math] принадлежит [math]IND[/math], если в графе [math]G[/math] есть подграф с [math]k[/math] вершинами, в котором все вершины не связаны ребрами. Пара [math]\langle G, k \rangle [/math] принадлежит [math]CLIQUE[/math], если в графе [math]G[/math] есть подграф с [math]k[/math] вершинами, в котором между каждой парой вершин проходит ребро.

Существует функция [math]f[/math] такая, что [math]f(\langle G, k \rangle ) = \langle H, k \rangle [/math], где [math]H[/math] — граф, в котором столько же вершин, сколько и в [math]G[/math], а ребра расставлены следующим образом: если в графе [math]G[/math] между вершинами [math]u[/math] и [math]v[/math] есть ребро, то в графе [math]H[/math] это ребро не проводится, если же в графе [math]G[/math] между этими вершинами его не было, то в [math]H[/math] оно есть между соответствующими вершинами. Эта функция вычисляется за линейное время от длины входа, если представлять граф в виде матрицы смежности.

Заметим, что если в графе [math]G[/math] был независимый подграф с [math]k[/math] вершинами, то в [math]H[/math] между всеми вершинами подграфа будут ребра, следовательно, в графе [math]H[/math] будет клика с [math]k[/math] вершинами.

С другой стороны, если в [math]H[/math] есть клика с [math]k[/math] вершинами, значит между всеми вершинами клики проведены ребра, а значит их не было в графе [math]G[/math]. Т.о. в графе [math]G[/math] был независимый подграф с [math]k[/math] вершинами.

Из всего сказанного следует, что [math]IND \le CLIQUE[/math].