Уравнение Пелля

Определение:

Уравнение вида [math]x^2-dy^2=1[/math], где [math]d\in\mathbb{N}[/math] не является квадратом, называется уравнением Пелля

Теорема:

Любое решение уравнения Пелля - подходящая дробь для [math]\sqrt{d}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассматриваем [math]x,y\gt 0[/math], остальные корни получатся из симметрии. Так как [math]\sqrt{d}\geqslant 1[/math], то [math]x\gt y\gt 0[/math]. [math]x+\sqrt{d}y\gt 2y[/math]

[math]\triangleleft[/math]