Материал из Викиконспекты
Связь периода и бордера
| Теорема: |
Если у строки длины [math]|n|[/math] есть бордер длины [math]|k|[/math], то у нее есть период длины [math]|n - k|[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Напишем формально определения бордера длины [math]|k|[/math] строки [math]\alpha[/math]:
[math]\forall i = 1 \ldots k[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + (n - k)][/math].
Сделаем замену [math]x = n - k[/math]:
[math]\forall i = 1 \ldots n - x[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + x][/math].
Получили определение периода длины [math]x[/math]. Но [math]x = n - k[/math], значит у строки [math]\alpha[/math] есть период длины [math]|n - k|[/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Свойства периода
| Теорема: |
Если у строки есть период длины [math]|k|[/math], то у нее есть период длины [math]|kx|[/math], где [math] x \in N[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Пусть длина строки равна [math]n[/math].
Доказательство будем вести по индукции по числу [math]x[/math].
Для [math] x = 1 [/math] утверждение очевидно.
Пусть верно для [math]x = m[/math]. Докажем, что верно для [math]x = m + 1[/math].
Из определения периода имеем, что
для [math]\forall i = 1 \ldots n - k[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + k][/math], а из предположения индукции, что
для [math]\forall i = 1 \ldots n - k[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + mk][/math]
Значит получаем, что
[math]\forall i = 1 \ldots n - k[/math], [math]\alpha [i] = \alpha [i + mk] = \alpha[i + mk + k][/math], следовательно
для [math]\forall i = 1 \ldots n - k[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + (m + 1)k][/math].
Значит у строки есть период длины [math] |(m + 1)k|[/math].
Утверждение доказано. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Теорема: |
Если у строки есть периоды длины [math]|p|[/math] и [math]|q|[/math], то НОД[math](p, q)[/math] также является периодом этой строки. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Пусть [math] p \gt q [/math], тогда
для [math]\forall i = 1 \ldots n - p[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + p] = \alpha[i + q][/math].
Значит для [math]\forall i = q \ldots n - p[/math], [math]\alpha [i + q] = \alpha[i + p][/math]
Сделаем замену [math]j = i + q[/math] и получим, что
для [math]\forall j = 1 \ldots n - (p - q)[/math], [math]\alpha [j] = \alpha[j + (p - q)][/math]
Получили новый период длины [math]|p - q|[/math]. Пусть теперь [math]p = max(p - q, q)[/math], а [math]q = min(p - q, q)[/math].
Будем повторять алгоритм сначала, пока [math]p \lt \gt q[/math].
Видно, что представленный алгоритм - это алгоритм Евклида. Значит при его завершении получим, что последний найденный период равен НОД[math](p, q)[/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
