Сведение задачи LCA к задаче RMQ

Постановка задачи LCA

Определение:

Наименьшим общим предком (least common ancestor) двух узлов [math]u[/math] и [math]v[/math] в корневом дереве [math]T[/math] называется узел [math]w[/math], который среди всех узлов, являющихся предками как узла [math]u[/math], так и [math]v[/math], имеет наибольшую глубину.

Пусть дано корневое дерево [math]T[/math]. На вход подаются запросы вида [math](u,\;v)[/math], для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.

Алгоритм

Препроцессинг

Для каждой вершины [math]T[/math] определим глубину вершину с помощью следующей рекурсивной формулы:

[math]depth(u)= \begin{cases} 0 & u = root(T),\\ depth(v) + 1 & u = son(v) \end{cases}.[/math]

Ясно, что глубина вершины элементарным образом поддерживается во время обхода в глубину.

Запустим обход в глубину из корня, который будет вычислять значения следующих величин:

1. Cписок глубин посещенных вершин [math]d[/math]. Глубина текущей вершины добавляется в конец списка при входе в данную вершину, а также после каждого возвращения из её сына.
2. Список посещений узлов [math]vtx[/math], строящийся аналогично предыдущему, только добавляется не глубина а сама вершина.
3. Значение функции [math]I[u][/math], возвращающей любой индекс в списке глубин [math]d[/math], по которому была записана глубина вершины [math]u[/math] (например при входе в вершину).

Запрос

Будем считать, что [math]\mathrm{rmq}(d, l, r)[/math] возвращает индекс минимального элемента в [math]d[/math] на отрезке [math][l..r][/math]. Тогда ответом на запрос [math]\mathrm{lca}(u, v)[/math] будет [math]\mathrm{vtx}[\mathrm{rmq}(d, I[u], I[v])][/math].

Доказательство корректности алгоритма

Теорема:

Наименьшему общему предку вершин [math]u, v[/math] соответствует минимальная глубина на отрезке [math]depth[I[u], I[v]][/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим два узла [math]u, v[/math] корневого дерева [math]T[/math]. Рассмотрим отрезок [math]depth[I[u]..I[v]][/math]. Поскольку этот отрезок — путь из [math]u[/math] в [math]v[/math], он проходит через их наименьшего общего предка [math]w[/math](в дереве есть только один простой путь между вершинами). Покажем, что его глубина минимальна на отрезке [math]depth[I[u]..I[v]][/math]. Допустим обратное. Все потомки [math]w[/math] имеют глубину больше. Но тогда получим, что поиск в глубину вышел из поддерева вершины [math]w[/math] раньше, чем посетил вершину [math]v[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Пример

Рассмотрим дерево на рисунке 1. Найдем наименьшего общего предка вершин, помеченных красным цветом. Список глубин, получающийся в результате обхода в глубину - [math][0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0].[/math] Глубина наименьшего общего предка красных вершин равна минимуму на отрезке [math][2, 1, 0, 1].[/math]

рис. 1

Сложность

Для нахождения минимального элемента на отрезке можно использовать дерево отрезков. Длина массива глубин будет равна [math](2n - 1)[/math], т. е. дерево отрезков можно построить за [math]O(n).[/math] Таким образом, препроцессинг работает за [math]O(n).[/math] Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке в дереве отрезков, т. е. [math]O(\log n).[/math]

См.также

• Метод двоичного подъема
• Решение RMQ с помощью разреженной таблицы
• Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера
• Сведение задачи RMQ к задаче LCA

Ссылки

• Наименьший общий предок. Нахождение за O (sqrt (N)) и O (log N) с препроцессингом O (N)