Сходимость цепных дробей

Теорема:

Последовательность из подходящих дробей для [math]\langle a_0, a_1,\cdots\rangle[/math], где [math]a_0\in\mathbb{Z}; a_i\in\mathbb{N}, i\gt 0[/math], имеет предел.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмём нечётное [math]n[/math]. Для него верно [math]P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n =(-1)^{n+1}=1\gt 0[/math]. Тогда [math]\frac{P_n}{Q_n}\gt \frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}[/math]. Аналогично [math]\frac{P_n}{Q_n}\gt \frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}[/math]. Также верно, что [math]\frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}=\frac{1}{Q_{n-1}Q_n}[/math] и [math]frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}=\frac{1}{Q_{n+1}Q_n}[/math]. Вычитая одно из другого получаем [math]\frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}-\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}=\frac{Q_{n+1}-Q_{n-1}}{Q_{n-1}Q_nQ_{n+1}}\gt 0[/math]. Получаем, что последовательность из подходящих дробей с чётным номером возрастает. Аналогично последовательность из подходящих дробей с нечётным номером убывает. Следовательно последовательность подходящих дробей с чётным номером ограничена сверху, а с нечётным ограничена снизу. Значит они имеют предел. Но [math]P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n =(-1)^{n+1}=\rightarrow 0[/math], значит этот предел совпадает.

[math]\triangleleft[/math]