Функции ограниченной вариации
<wikitex> Рассмотрим $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ и ее разбиение $\tau: a = x_0 < x_1 \dots < x_n = b$
| Определение: |
| Вариацией функции $f$ по разбиению $\tau$ называется $\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |
{{Теорема
|statement=
$f \in \bigvee (a, b) \Leftrightarrow f = f_1 - f_2$, где $f_{1,2}$ — монотонно неубывающие функции.
$f$ — функция ограниченной вариации тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций.
|proof=
Некоторые вспомогательные утверждения:
| Утверждение: |
Пусть $f$ монотонно не убывает, тогда она ограниченной вариации. |
| По определению неубывания, $ |
| Утверждение: |
Пусть $f'$ опредлена на $(a, b)$ и ограничена, тогда $f$ — функция ограниченной вариации. |
2) Пусть f' ограничена на (a, b).
|f'| \le M \Rightarrow |f(x_{k+1}) - f(x_k)| = |f'(\tilda x_k)| \Delta x_k \Rightarrow \bigvee_a^b (f) < \infty (Более того, f' — суммируема, поэтому вариация ограничена)
Не любая непрерывная функция имеет ограниченную вариацию: f(x) = x \sin \frac 1x, [0, 1] f(0) = 0
f'(x) = \sin \frac 1x - \frac 1x \cos \frac 1x Производная ограничена на [a,
ТУТ ХРЕНЬ КАКАЯ-ТО
Теорема a < b < c \Rightarrow \bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) = \bigvee\limits_b^c (f) — аддитивность вариации.
Док-во: \forall \tau_1: a = x_0 < \dots < x_p = b, \forall \tau_2: b = x_p < \dots < x_{p + m} = c
\tau_1 \cup \tau_2 = a = x_0 < \dots < x_{p+m} = c
По определению полной вариации: \forall \varepsilon > 0 \exists \tau_1, \tau_2: \bigvee_a^b (f) - \varepsilon < \bigvee_a^b (f, \tau_1) \bigvee_b^c (f) - \varepsilon < \bigvee_b^c (f, \tau_2)
\bigvee_a^b (f, \tau_1) + \bigvee_b^c (f, \tau_2) = \bigvee_a^c (f, \tau_1 \cup \tau_2) - 2 \varepsilon < \bigvee_a^c (f), в пределе </wikitex>
