Эта статья требует доработки!
- Не надо приводить таблицы умножения изоморфных групп. Группы, таблицы умножения которых приведены в статье, надо "расшифровать". Они все являются группами из примеров групп.
- (исправлено)Надо убрать алгоритм построения.
- Надо привести некоторые свойства конечных групп: все группы простого порядка [math]p[/math] изоморфны [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/math], в простой группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы. Свойства надо доказать.
Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).
| Определение: |
| Группа называется конечной, если множество ее элементов конечно. Мощность множества элементов группы [math]G[/math] называют порядком группы и обозначают [math]\vert G\vert[/math]. |
Таблицы умножения для конечных групп
Таблица умножения(таблица Кэли) — таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти ядро группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.
Структура
Пусть [math]\mathbb{A}_n[/math] = [math]\{a_1,a_2,\dots,a_n\}[/math] - группа из n элементов.
Тогда таблица будет выглядеть следующим образом:
| *
|
a1
|
a2
|
...
|
an
|
| a1
|
a1a1 |
a1a2 |
... |
a1an
|
| a2
|
a2a1 |
a2a2 |
... |
a2an
|
| ...
|
... |
... |
... |
...
|
| an
|
ana1 |
ana2 |
... |
anan
|
Свойства
| Утверждение: |
Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов группы |
| [math]\triangleright[/math] |
|
темп |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Утверждение: |
Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна |
| [math]\triangleright[/math] |
|
темп |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Утверждение: |
темп |
| [math]\triangleright[/math] |
|
темп |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Утверждение: |
темп |
| [math]\triangleright[/math] |
|
темп |
| [math]\triangleleft[/math] |
Примеры таблиц умножения для конечных групп
1) n = 1
2) n = 2
3) n = 3
| *
|
e
|
a
|
b
|
| e
|
e |
a |
b
|
| a
|
a |
b |
e
|
| b
|
b |
e |
a
|
4) n = 4
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
| e
|
e |
a |
b |
c
|
| a
|
a |
e |
c |
b
|
| b
|
b |
c |
e |
a
|
| c
|
c |
b |
a |
e
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
| e
|
e |
a |
b |
c
|
| a
|
a |
b |
c |
e
|
| b
|
b |
c |
e |
a
|
| c
|
c |
e |
a |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
| e
|
e |
a |
b |
c
|
| a
|
a |
e |
c |
b
|
| b
|
b |
c |
a |
e
|
| c
|
c |
b |
e |
a
|
5) n = 5
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d
|
| a
|
a |
b |
c |
d |
e
|
| b
|
b |
c |
d |
e |
a
|
| c
|
c |
d |
e |
a |
b
|
| d
|
d |
e |
a |
b |
c
|
6) n = 6
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
e |
c |
b |
f |
d
|
| b
|
b |
c |
d |
f |
e |
a
|
| c
|
c |
b |
f |
d |
a |
e
|
| d
|
d |
f |
e |
a |
b |
c
|
| f
|
f |
d |
a |
e |
c |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
e |
c |
d |
f |
b
|
| b
|
b |
c |
d |
f |
e |
a
|
| c
|
c |
b |
f |
e |
a |
d
|
| d
|
d |
f |
e |
a |
b |
c
|
| f
|
f |
d |
a |
b |
c |
e
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
e |
c |
b |
f |
d
|
| b
|
b |
c |
d |
f |
a |
e
|
| c
|
c |
b |
f |
d |
e |
a
|
| d
|
d |
f |
a |
e |
b |
c
|
| f
|
f |
d |
e |
a |
c |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
e |
c |
f |
b |
d
|
| b
|
b |
c |
f |
d |
a |
e
|
| c
|
c |
b |
d |
e |
f |
a
|
| d
|
d |
f |
a |
b |
e |
c
|
| f
|
f |
d |
e |
a |
c |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
e |
d |
b |
f |
c
|
| b
|
b |
c |
e |
f |
a |
d
|
| c
|
c |
b |
f |
d |
e |
a
|
| d
|
d |
f |
a |
e |
c |
b
|
| f
|
f |
d |
c |
a |
b |
e
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
e |
d |
f |
c |
b
|
| b
|
b |
c |
e |
a |
f |
d
|
| c
|
c |
b |
f |
d |
a |
e
|
| d
|
d |
f |
a |
b |
e |
c
|
| f
|
f |
d |
c |
e |
b |
a
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
e |
d |
f |
b |
c
|
| b
|
b |
c |
e |
d |
f |
a
|
| c
|
c |
b |
f |
e |
a |
d
|
| d
|
d |
f |
a |
b |
c |
e
|
| f
|
f |
d |
c |
a |
e |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
e |
d |
f |
c |
b
|
| b
|
b |
c |
e |
d |
f |
a
|
| c
|
c |
b |
f |
e |
a |
d
|
| d
|
d |
f |
a |
b |
e |
c
|
| f
|
f |
d |
c |
a |
b |
e
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
e |
d |
f |
b |
c
|
| b
|
b |
c |
f |
e |
a |
d
|
| c
|
c |
b |
e |
d |
f |
a
|
| d
|
d |
f |
a |
b |
c |
e
|
| f
|
f |
d |
c |
a |
e |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
e |
d |
f |
c |
b
|
| b
|
b |
c |
f |
e |
a |
d
|
| c
|
c |
b |
e |
d |
f |
a
|
| d
|
d |
f |
a |
b |
e |
c
|
| f
|
f |
d |
c |
a |
b |
e
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
e |
d |
f |
c
|
| b
|
b |
e |
a |
f |
c |
d
|
| c
|
c |
d |
f |
e |
a |
b
|
| d
|
d |
f |
c |
a |
b |
e
|
| f
|
f |
c |
d |
b |
e |
a
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
e |
d |
f |
c
|
| b
|
b |
e |
a |
f |
c |
d
|
| c
|
c |
d |
f |
e |
b |
a
|
| d
|
d |
f |
c |
a |
e |
b
|
| f
|
f |
c |
d |
b |
a |
e
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
e |
d |
f |
c
|
| b
|
b |
e |
a |
f |
c |
d
|
| c
|
c |
d |
f |
a |
e |
b
|
| d
|
d |
f |
c |
e |
b |
a
|
| f
|
f |
c |
d |
b |
a |
e
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
e |
d |
f |
c
|
| b
|
b |
e |
a |
f |
c |
d
|
| c
|
c |
d |
f |
a |
b |
e
|
| d
|
d |
f |
c |
b |
e |
a
|
| f
|
f |
c |
d |
e |
a |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
c |
e |
f |
d
|
| b
|
b |
c |
d |
f |
e |
a
|
| c
|
c |
e |
f |
d |
a |
b
|
| d
|
d |
f |
e |
a |
b |
c
|
| f
|
f |
d |
a |
b |
c |
e
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
c |
e |
f |
d
|
| b
|
b |
c |
d |
f |
a |
e
|
| c
|
c |
e |
f |
d |
b |
a
|
| d
|
d |
f |
a |
b |
e |
c
|
| f
|
f |
d |
e |
a |
c |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
d |
e |
f |
c
|
| b
|
b |
c |
e |
f |
a |
d
|
| c
|
c |
e |
f |
d |
b |
a
|
| d
|
d |
f |
a |
b |
c |
e
|
| f
|
f |
d |
c |
a |
e |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
d |
e |
f |
c
|
| b
|
b |
c |
e |
f |
a |
d
|
| c
|
c |
e |
f |
d |
b |
a
|
| d
|
d |
f |
c |
a |
e |
b
|
| f
|
f |
d |
a |
b |
c |
e
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
c |
d |
f |
e
|
| b
|
b |
c |
e |
f |
a |
d
|
| c
|
c |
d |
f |
e |
b |
a
|
| d
|
d |
f |
a |
b |
e |
c
|
| f
|
f |
e |
d |
a |
c |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
c |
d |
f |
e
|
| b
|
b |
c |
e |
f |
a |
d
|
| c
|
c |
d |
f |
a |
e |
b
|
| d
|
d |
f |
a |
e |
b |
c
|
| f
|
f |
e |
d |
b |
c |
a
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
c |
d |
f |
e
|
| b
|
b |
c |
a |
f |
e |
d
|
| c
|
c |
d |
f |
e |
a |
b
|
| d
|
d |
f |
e |
a |
b |
c
|
| f
|
f |
e |
d |
b |
c |
a
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
c |
d |
f |
e
|
| b
|
b |
c |
f |
e |
a |
d
|
| c
|
c |
d |
e |
f |
b |
a
|
| d
|
d |
f |
a |
b |
e |
c
|
| f
|
f |
e |
d |
a |
c |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
c |
f |
e |
d
|
| b
|
b |
c |
e |
d |
f |
a
|
| c
|
c |
f |
d |
e |
a |
b
|
| d
|
d |
e |
f |
a |
b |
c
|
| f
|
f |
d |
a |
b |
c |
e
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
c |
f |
e |
d
|
| b
|
b |
c |
e |
d |
f |
a
|
| c
|
c |
f |
d |
a |
b |
e
|
| d
|
d |
e |
f |
b |
a |
c
|
| f
|
f |
d |
a |
e |
c |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
c |
f |
e |
d
|
| b
|
b |
c |
a |
d |
f |
e
|
| c
|
c |
f |
d |
e |
a |
b
|
| d
|
d |
e |
f |
a |
b |
c
|
| f
|
f |
d |
e |
b |
c |
a
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
c |
f |
e |
d
|
| b
|
b |
c |
d |
e |
f |
a
|
| c
|
c |
f |
e |
d |
a |
b
|
| d
|
d |
e |
f |
a |
b |
c
|
| f
|
f |
d |
a |
b |
c |
e
|
