Лемма Бернсайда, задача о числе ожерелий

Эта статья требует доработки!

1. (исправлено)Надо решить задачу о числе ожерелий!

Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).

Постановка задачи

Пусть группа [math]G[/math] действует на множестве [math]X[/math]. По свойствам орбит множество [math]X[/math] разбивается на непересекающиеся орбиты. Требуется найти их количество.

Лемма (Бернсайда):

Число орбит в группе [math]G[/math] равно [math]\frac { \sum_{g \in G} |Fix(g)| } { |G| } [/math]

Утверждение (1):

[math] |Orb(x)| = \frac { |G| } { |St(x)| } [/math]

[math]\triangleright[/math]

Фиксируем точку x. Рассмотрим отображение [math]\phi:G\rightarrow X[/math], сопоставляющее элементу [math]g\in G[/math] точку [math]gx[/math]. Тогда верно следующее утверждение: [math]\phi(g_1)=\phi(g_2)[/math] тогда и только тогда, когда [math]g_1[/math] и [math]g_2[/math] лежат в одном смежном классе [math]G[/math] по [math]St(x)[/math]. Действительно, [math]g_1 x=g_2 x \Leftrightarrow {g_1}^{-1}g_2 x=x\Leftrightarrow {g_1}^{-1}g_2\in St(x)\Leftrightarrow g_2\in g_1 St(x)[/math]. Таким образом, образ каждого смежного класса - одна точка, причем разным смежным классам соответствуют разные точки. Поэтому мощность образа(который и представляет собой орбиту) равна числу смежных классов, т.е. [math]|Orb(x)|=\frac{|G|}{|St(x)|}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Преобразуем выражение для числа орбит, полученное из леммы Бернсайда.
[math]\frac { \sum_{g \in G} |Fix(g)| } { |G| } = \frac { \sum_{ g \in G } \sum_{ x \in X } \{gx = x\} } { |G| } = \frac { \sum_{ x \in X } \sum_{ g \in G } \{gx = x\} } { |G| } = \frac { \sum_{ x \in X } |St(x)| } { |G| } = \sum_{ x \in X } \frac {1} { |Orb(x)| } [/math]
Последнее преобразование выполнено на основании утверждения 1.

Задача о числе ожерелий

Пусть есть [math]n[/math] бусинок [math]m[/math] разных сортов, [math]n_i[/math] назовем количество бусинок [math]i[/math]ого цвета[math](i \in [1;m])[/math] (так же для удобства будем называть [math]n_i[/math] цвет, цвет которому соответствует данное число бусин). Найти число ожерелий которые можно составить из этих бусинок. Ожерелья полученные поворотом друг из друга поворотом или отражением считаются одним ожерельем.

решение:

Эта задача равносильна следующей задаче: сколькими различными способами можно раскрасить вершины правильного [math]n[/math]угольника вершины которого окрашены в цветов, а количество вершин каждого цвета равно [math]n_i[/math]. Две расскраски считаются разными, если из одной нельзя получить другую с помощью симметрии или вращения.

Пусть [math]M[/math] — множество всех возможных окрасок [math]n[/math]угольника, [math]D[/math] — группа симметрий [math]n[/math]угольника, состоящая из [math]2n[/math] преобразований. Группа [math]G[/math] определяет группу перестановок на множестве [math]M[/math]. Пусть [math] d \in D[/math] — некое преобразование симметрии [math] \Rightarrow [/math] для любого многоугольник [math]x \in M[/math] можно сопоставить многоугольник получаемый из него симметрией [math]d[/math]. Назовем сопоставление этой перестановки [math]d'[/math]. Группу всех таких перестановок из [math]D[/math] назовем [math]D'[/math].

Два многоугольника будут считаться разными, если из одного невозможно получить другой какой-либо перестановкой [math]d' \in D'[/math] (они содержаться на разных орбитах группы [math]D'[/math] действующей на множестве [math]M[/math]). Поэтому для получения количества различных раскрасок вершин [math]n[/math]угольника достаточно найти количество орбит группы [math]D'[/math] на множестве [math]M[/math]. По лемме Бернсайда, для этого нужно посчитать число неподвижных точек каждой перестановки [math] d' \in D'[/math].

Рассмотрим повороты:

пусть [math]k[/math] — общий делитель [math]n_i[/math]ых[math](i \in [1..m]) \Rightarrow[/math] поворот [math]a_1[/math] на угол [math]\frac { 2\pi } { k }[/math] оставит неподвижными ожерелья из [math]k[/math] одинаковых кусков длинны [math]\frac {n} {k}[/math]. Каждый кусок состоит из [math]\frac {n_i} { k } [/math] бусен [math]i[/math]ого цвета, поэтому число неподвижных точек для поворота будет равно количеству способов расставить бусины на [math]\frac {n} {k}[/math] местах. Соответственно для перестановки [math]d'[/math] число неподвижных точек будет равно [math]t(d')=P(\frac {n_1} { k }, \frac {n_2} { k }, ..., \frac {n_m} { k })[/math], где [math]P(x_1, x_2, ..., x_m)[/math] — полиномиальные коэффициенты.

рассмотрим поворот [math] a_i[/math] на угол [math]\frac {2i\pi} {k}[/math], где [math] i \in [1..k][/math]. Количество его неподвижных точек равно количеству неподвижных точек [math]a_1[/math], если [math] i[/math] взаимно просто с [math]k[/math]. Количество взаимно простых с [math]k[/math](не превосходящих [math]k[/math]) — является функцией Эйлера [math]\phi(k)[/math]. Пусть [math]S[/math] — сумма по всем поворотам, тогда [math]S= \sum_{k} \phi(k) \cdot P(\frac {n_1} { k }, \frac {n_2} { k }, ..., \frac {n_m} { k })[/math], где k пробегает множество общих делителей [math]n_1, n_2, ..., n_m[/math].

рассмотрим симметрии относительно осей:

1 случай:

[math]n[/math] — нечетно. Тогда симметричные ожерелья существуют только если среди [math]n_i/,(i \in [1..m])[/math] только одно число нечетное. Пусть [math]n_1[/math] — нечетно, [math]d[/math] — симметрия относительно оси, проходящей через некоторую вершину. Тогда неподвижными будут ожерелья, симметричные относительно оси проходящей через бусину цвета [math]n_1[/math]. По одной стороне от оси будут находится [math] \frac {n-1} { 2 } [/math] бусин: [math] \frac {n_1-1} { 2 } [/math] бусин [math]n_1 цвета, \lt tex\gt \frac {n_i} { 2 } [/math] бусин [math]n_i[/math] цвета, где [math]i \in [2.. m] \Rightarrow t(d')=P(\frac {n_1-1} { 2 }, \frac {n_2} { 2 }, ..., \frac {n_m} { 2 })=P([\frac {n_1} { 2 }], [\frac {n_2} { 2 }], ..., [\frac {n_m} { 2 }]),[/math] где [math][x][/math] — целая часть числа [math]x[/math]. Тогда такое же число неподвижных точек имеет каждая из [math]n[/math] соответствующая таким симметриям. Пусть [math]S'[/math] — сумма числа всех неподвижных точек [math]t(d')[/math] по всем отражениям: [math]S'=m \cdot P([\frac {n_1} { 2 }], [\frac {n_2} { 2 }], ..., [\frac {n_m} { 2 }])[/math].

2 случай:

[math]n[/math] — четно. Ожерелья, симметричные относительно оси проходящей между бусинами, существуют только если все [math]n_i (i \in [1..m])[/math] четные. Если ось проходит через [math]2[/math] бусины, то симметричные ожерелья существуют только если все [math]n_i (i \in [1..m])[/math] четные или если только [math]2[/math] из [math]n_i (i \in [1..m])[/math] не четные. Рассмотрим оба случая:

a)Пусть [math]n_1, n_2[/math] — не четные, [math]n_i (i \in [3..m])[/math] — четные, [math]d[/math] — симметрия относительно некой оси, проходящей через противоположные вершины. Тогда неподвижными точками для [math]d'[/math] будут ожерелья, симметричные относительно оси, проходящей через вершины [math]n_1[/math] и [math]n_2[/math] сортов. По одну сторону находятся от оси находятся [math]\frac {n-2} { 2 }[/math] бусин, где [math]\frac {n_1-1} { 2 },[/math] бусин [math]n_1[/math] цвета, [math]\frac {n_2-1} { 2 },[/math] бусин [math]n_2[/math] цвета [math]\frac {n_i} { 2 },[/math] бусин [math][3..m][/math] цвета. Бусины [math]n_1[/math] и [math]n_2[/math] цвета можно поменять местами [math]\Rightarrow[/math] количество неподвижных точек [math]t(d')=2P(\frac {n_1-1} { 2 }, \frac {n_2-1} { 2 }, ..., \frac {n_m} { 2 })[/math]. Таких симметрий [math]\frac {n} {2} \Rightarrow S'=m \cdot P([\frac {n_1} { 2 }], [\frac {n_2} { 2 }], ..., [\frac {n_m} { 2 }])[/math].

б)Пусть все [math]n_i[/math] — четные. Если [math]d[/math] — симметрия относительно оси проходящей через 2 вершины, то неподвижными точками для [math]d'[/math] будут симметричные ожерелья, у которых [math]2[/math] бусины [math]n_i (i \in [1..m])[/math] цвета расположены на данной оси. Их количество [math]t(d')=P(\frac {n_1-2} { 2 }, \frac {n_2} { 2 }, ..., \frac {n_m} { 2 })+P(\frac {n_1} { 2 }, \frac {n_2-2} { 2 }, \frac {n_3} { 2 }, ..., \frac {n_m} { 2 })[/math][math]+ ...+[/math][math]P(\frac {n_1} { 2 }, ..., \frac {n_{m-1}} { 2 }, ..., \frac {n_m-2} { 2 })=P(\frac {n_1} { 2 }, \frac {n_2} { 2 }, ..., \frac {n_m} { 2 })[/math]. Таких симметрий [math] \frac {m} {2}[/math]. Если [math]d[/math] — симметрия относительно оси, проходящей между бусинами, то количество неподвижных точек равно [math]t(d')=P(\frac {n_1} { 2 }, \frac {n_2} { 2 }, ..., \frac {n_m} { 2 })[/math]. Таких симметрий также [math] \frac {m} {2}[/math]. Поэтому [math]S'=m \cdot P(\frac {n_1} { 2 }, \frac {n_2} { 2 }, ..., \frac {n_m} { 2 })=m \cdot P([\frac {n_1} { 2 }], [\frac {n_2} { 2 }], ..., [\frac {n_m} { 2 }])[/math].

Итак:

Во всех случаях получились одинаковые формулы для сумм неподвижных точек по всем отражениям[math](S')[/math]. По лемме Бернсайда [math]t(D')= \frac {1} {2n} \cdot (S+S')= \frac {1} {2m} \cdot \sum_{k} \phi(k) \cdot P(\frac {n_1} { k }, \frac {n_2} { k }, ..., \frac {n_m} { k })+ \frac {1} {2} \cdot P([\frac {n_1} { 2 }], [\frac {n_2} { 2 }], ..., [\frac {n_m} { 2 }]) [/math]. Это и будет количеством ожерелий. Если среди всех [math]n_i (i \in [1..m])[/math] более 2 нечетных, то нет симметрий [math]\Rightarrow S'=0, \, t(D')= \frac {1} {2m} \cdot \sum_{k} \phi(k) \cdot P(\frac {n_1} { k }, \frac {n_2} { k }, ..., \frac {n_m} { k })[/math].