Рекурсивные функции

Эта статья находится в разработке!

Все рассматриваемые здесь функции действуют из подмножества [math] \mathbb {N}^t [/math] в [math] \mathbb {N} [/math], где [math] t [/math] - любое натуральное число.Также будем считать что [math] 0[/math] натуральное число.

Содержание

1 Примитивно рекурсивные функции
2 Теорема о рекурсии

Примитивно рекурсивные функции

Основные определения

Рассмотрим следующие правила преобразования функций:

Рассмотрим [math] k [/math]-местную функцию [math] f(x_1,\ldots,x_k) [/math] и [math] k [/math] [math]n [/math]-местных функций [math] g_i(x_1,x_2,\ldots,x_n) [/math]. Тогда после преобразования у нас появится [math] n [/math] - местная функция .

Это правило называется правилом подстановки

Рассмотрим [math] k [/math]-местную функцию [math] f [/math] и [math] k + 2 [/math]-местную функцию [math] h [/math]. Тогда после преобразования у нас будет [math] k+1 [/math] -местная функция [math] g [/math], которая определена следующим образом:

Это правило называется правилом рекурсии,при этом будем говорить что рекурсия запускается по аргументу .

Определение:

Примитивно рекурсивными называют функции, которые можно получить с помощью правил подстановки и рекурсии из константной функции , функции и набора функций где .

Заметим, что если [math] f [/math] — [math] n [/math]-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве [math] \mathbb {N}^{n} [/math], так как [math] f [/math] получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразование не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время.

Благодаря проекторам мы можем делать следующие преобразования:

В правиле подстановки можно использовать функции с разным числом аргументов. Например, подстановка эквивалентна , но если [math] F [/math] не константная функция то все подставляемые функции должны иметь хотя бы один аргумент.
В рекурсии не обязательно вести индукцию по последнему аргументу. Следует из того что мы можем с помощью проекторов поставить требуемый аргумент на последнее место.

В дальнейшем вместо [math] P_{n,k}(x_1,\ldots,x_k) [/math] будем писать просто [math] x_k [/math], подразумевая требуемое нам [math] n [/math].

Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях

n -местный ноль

[math] \textbf 0 [/math] - функция нуля аргументов.

Выразим сначала [math] \textbf 0^1 [/math]

, где [math] h(x,y) = y [/math]

Теперь выразим [math] \textbf 0^n [/math]

, где [math] h(x_1,\ldots, x_n,y) = y [/math]

Константа [math] \textbf M [/math] равна [math] I(\textbf{M-1}) [/math]

[math] \textbf M^n [/math] - n местная константа, получается аналогичным к [math] \textbf 0^n [/math] образом.

Сложения

[math] sum(x,0) = x [/math]

, где [math] h(x,y,z)=I(z) [/math]

Умножения

, где [math] h(x,y,z)=sum(x,z) [/math]

Вычитания

Если [math] x \lt y [/math], то [math] sub(x,y) = 0 [/math] , иначе [math] sub(x,y) = x - y [/math].

Рассмотрим сначала вычитания единицы [math] sub_{1}(x) = x - 1 [/math]

[math] sub_1(0) = \textbf 0 [/math]

, где [math] h(x,y) = y [/math]

Теперь рассмотрим [math] sub(x,y) [/math]

[math] sub(x,0) = x [/math]

, где [math] h(x,y,z) =sub_1(z) [/math]

Операции сравнения

[math] eq(x,y) = 1 [/math] если [math] x = y [/math], иначе [math] eq(x,y) = 0 [/math]

[math] le(x,y) = 1 [/math] если [math] x \le y [/math], иначе [math] lq(x,y) = 0 [/math] [math] lower(x,y) = 1 [/math] если [math] x \lt y [/math], иначе [math] lower(x,y) = 0 [/math]

Сначала выразим [math] eq_{0}(x) = eq(x,0) [/math]

[math] eq_0(0) =I(\textbf 0) [/math]

[math] eq_0(y+1) = h(y,eq(y)) [/math] , где

Теперь все остальные функции

[math] le(x,y) = eq_0(sub(x,y)) [/math]

IF

[math] if(0,x,y) = y [/math]

, где [math] h(c,x,y,d) = x [/math]

Деление

, если [math] y \gt 0 [/math]. Если же [math] y = 0 [/math], то [math] divide(x,0) [/math] и все связанные с делением функции равны каким то ,не интересными для нас, числами.

Сначала определим [math] divmax(x,y) [/math] — функция равна максимальному числу меньшему [math] x [/math] и которое нацело делится на [math] y [/math].

, где ,

или не формально если [math] x+1 - y = z [/math] то [math] h(x,y,z) = x+1 [/math], иначе [math] h(x,y,z) = y [/math]

Теперь само деления

, где

или не формально если [math] x+1~\vdots z [/math] то [math] h(x,y,z) = z+1 [/math], иначе [math] h(x,y,z) = z [/math]

Остаток от деления выражается так:

Работа со списками фиксированной длины

С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск [math] n [/math] - того простого числа. Рассмотрим список из натуральны чисел [math] [x_1,\ldots,x_n] [/math], тогда ему в соответствия можно поставить число , где [math] p_i - i[/math]-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие [math] i [/math] - того элемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел.

Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций

Теорема о рекурсии

Теорема (О рекурсии):

Пусть — вычислимая функция. Тогда найдётся такая вычислимая , что .

Доказательство:

Приведем конструктивное доказательство теоремы. Пусть есть вычислимая [math]V(x,y)[/math]. Будем поэтапно строить функцию [math]p(y)[/math].
Предположим, что у нас в распоряжении есть функция [math]getSrc()[/math], которая вернет код [math]p(y)[/math]. Тогда саму [math]p(y)[/math] можно переписать так:


p(y){ 
     V(x,y) {...}

     main() {
         return V(getSrc(), y)
     }
 
     string getSrc() {...}
 }

Теперь нужно определить функцию [math]getSrc()[/math]. Предположим, что внутри [math]p(y)[/math] мы можем определить функцию [math]getOtherSrc()[/math], состоящую из одного оператора [math]return[/math], которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда [math]p(y)[/math] перепишется так.


 p(y){ 
     V(x,y) {...}

     main() {
         return V(getSrc(), y)
     }
 
     string getSrc() {
         string src = getOtherSrc();
         return src + "string getOtherSrc() {" + "\n" + "return" + src + "\n" + "}";
     }
 
     string getOtherSrc() {...} 
 }

Теперь [math]getOtherSrc()[/math] определяется очевидным образом, и мы получаем итоговую версию функции [math]p(y)[/math]


 p(y){ 
     V(x,y) {...}

     main() {
         return V(getSrc(), y)
     }
 
     string getSrc() {
         string src = getOtherSrc();
         return src + "string getOtherSrc() {" + "\n" + "return" + src + "\n" + "}";
     }
 
     string getOtherSrc() {
         return "  p(y){             // Возвращаем весь предыдущий код
                    V(x,y) {...}

                     main() {
                         return V(getSrc(), y)
                     }
 
                     string getSrc() {
                         string src = getOtherSrc();
                         return src + "string getOtherSrc() {" + "\n" + "return" + src + "\n" + "}";
                 }";
     } 
 }

Если говорить неформально, теорема о рекурсии утверждает, что внутри программы можно использовать ее код. Это упрощает доказательство некоторых теорем.

Приведем так же альтернативую формулировку теоремы и альтернативное (неконструктивное) доказательство.

Теорема (о неподвижной точке, Клини):

Пусть — универсальная функция, — всюду определённая вычислимая функция. Тогда найдется такое , что .

Другими словами: нельзя найти алгоритма, преобразующего про- граммы, который бы по каждой программе давал другую (не эквива-

лентную ей).

Доказательство:

Начнём с доказательства леммы.

Лемма:

Пусть на натуральных числах задано отношение эквивалентности . Тогда следующие два утверждения не могут быть выполнены одновременно:

Пусть [math]f[/math] — вычислимая функция. Тогда существует всюду определённое вычислимое [math]\equiv[/math] — продолжение [math]g[/math] функции [math]f[/math], то есть такая [math]g[/math], что [math]D(g)=N[/math] и [math]\forall x[/math] такого, что [math]f(x) \ne \perp[/math], выполнено [math]f(x) \equiv g(x)[/math].
Найдётся такая всюду определенная вычислимая [math]h[/math], что [math]\forall n [/math] выполнено [math]h(n) \not\equiv n[/math].

Доказательство:

Приведем доказательство от противного. Пусть оба утверждения выполнены.

Определим функцию так: . Заметим, что никакая всюду вычислимая функция не отличается от всюду.
Согласно первому утверждению найдётся всюду определённое вычислимое — продолжение функции .
Определим функцию так: , где — функция из второго утверждения.
Если , то , то есть . Если , то , так как всюду определена. Значит, всюду отлична от , получили противоречие.

Теперь определим отношение [math]\equiv[/math] так: . Покажем, что для него выполнено первое утверждение леммы.
Для заданной [math]f[/math] определим [math]V(n,x) = U(f(n), x)[/math].
Так как [math]U[/math] — универсальная функция, то найдётся такая всюду определенная вычислимая функция [math]s[/math], что [math]V(n,x) = U(s(n), x)[/math].
Тогда [math]\forall x [/math] и [math] n [/math] будет выполнено [math]U(f(n), x) = U(s(n), x)[/math]. Значит, [math]\forall n [/math] [math] s(n) \equiv f(n)[/math], то есть [math]s[/math] — всюду определенное [math]\equiv[/math] — продолжение [math]f[/math].

Значит, для нашего отношения эквивалентности второе утверждение леммы не верно, то есть для любого вычислимого всюду определенного такое, что .

Рекурсивные функции

Содержание

Примитивно рекурсивные функции

Основные определения

Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях

n -местный ноль

Сложения

Умножения

Вычитания

Операции сравнения

IF

Деление

Работа со списками фиксированной длины

Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций

Теорема о рекурсии

Навигация

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Ещё

Поиск

Навигация

Инструменты