Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство

Вещественное евклидово пространство

NB: Вопреки всякой логике, слово "евклидово" пишется с буквы "е", но читается с "э". nuff said \\статья находится в разработке\\

Неравенство Коши-Буняковского(Шварца)

Теорема:

[math]\forall\: x,y\in E:\;|\left\langle x,y\right\rangle _{G}|\leq\Vert x\Vert_{G}\cdot\Vert y\Vert_{G}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]\left\langle \lambda x+y;\lambda x+y\right\rangle =\Vert\lambda x+y\Vert^{2}\geq0[/math] , где [math]\lambda[/math] - число [math]\left\langle \lambda x;\lambda x\right\rangle +\left\langle \lambda x;y\right\rangle +\left\langle y;\lambda x\right\rangle +\left\langle y;y\right\rangle =\lambda^{2}\left\langle x,x\right\rangle +\lambda\cdot(\left\langle x;y\right\rangle +\left\langle y;x\right\rangle )+\left\langle y,y\right\rangle =\Vert x\Vert^{2}\cdot\lambda^{2}+2\lambda\left\langle x;y\right\rangle + \Vert y\Vert^{2}\geq0[/math] [math]D \le 0[/math] [math] D/4=(\left\langle x,y\right\rangle )^{2}-\Vert x\Vert^{2}\cdot\Vert y\Vert^{2}\Rightarrow|\left\langle x,y\right\rangle |\leq\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert [/math]

[math]\triangleleft[/math]

NB: равенство будет только в случае [math]x=\lambda y[/math]

Теорема (следствие из Коши, неравенство треугольника):

[math]\Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert+\Vert y \Vert[/math]