Метрические, нормированные и евклидовы пространства

Метрическое пространство

Определение:

Пусть [math]M[/math] - множество, тогда [math]M[/math] называется метрическим пространством, если на нём определена функция [math]\rho:\: M\times M\longrightarrow \mathbb{R}[/math] (расстояние), такая, что выполняются три аксиомы: [math]1)\:\rho(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y[/math] - аксиома тождества; [math]2)\:\rho(x,y)=\rho(x,y)[/math] - аксиома симметрии; [math]3)\:\rho(x,y)+\rho(y,z)\geq \rho(x,z)[/math] - аксиома(неравенство) треугольника;

Примеры

1) Дискретная:[math] \rho(x,y)=\left\{ \begin{array}{c} 1,\: x\ne y\\ 0,\: x=y \end{array}\right\}[/math]

2) [math]M=\mathbb{R}^{n}; \: \rho(x,y)=max\:|x_{i}-y_{i}|[/math] (по всем i)

Нормированное пространство

Определение:

Пусть [math]X[/math] - линейное пространство над [math]\mathbb{R}(\mathbb{C})[/math], тогда [math]X[/math] называется нормированным пространством, если на нём определена функция [math]\Vert\:\Vert: X\longrightarrow \mathbb{R}[/math] (норма), такая, что выполняются три свойства: [math]1)\Vert x \Vert \geq 0; \Vert x \Vert = 0 \Leftrightarrow x = 0_{x}[/math] - положительная определённость [math]2)\Vert \alpha x \Vert = | \alpha|\cdot \Vert x \Vert[/math] [math]3)\Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert+\Vert y \Vert[/math]

Примеры

[math]X = \mathbb{R}^{n}; \Vert x \Vert = \sqrt{\sum_{(i)}(x_{i})^{2}}[/math]

Лемма (1):

Любое нормированное пространство является метрическим(обратное не верно!)

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Очевидно, [math]\rho(x,y)=\Vert x-y \Vert[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Вещественное псевдоевклидово пространство

Определение:

Пусть [math]E[/math] - линейное пространство над [math]\mathbb{R}[/math]. Пусть на [math]E[/math] задана т.н. метрическая форма [math]G(x,y)[/math], такая, что выполняются три свойства: [math]1)G(x,y)[/math] - билинейная форма валентности (2;0) [math](x,y \in E)[/math] [math]2)G(x,y)=G(y,x)[/math] - симметричность [math]3)[/math] При [math]x=0: G(x,y)=0[/math] при любых [math]y \in E[/math] - невырожденность Тогда [math]E[/math] называется вещественным псевдоевклидовым пространством

Примеры

Пространство Минковского: [math]E = \mathbb{R}^{4} = {x=(\xi^{0}, \xi^{1}, \xi^{2}, \xi^{3})}[/math], где первая координата - временная, а остальные - пространственные;

[math]\left\langle x,y\right\rangle = \xi^{0}\eta^{0}-\xi^{1}\eta^{1}-\xi^{2}\eta^{2}-\xi^{3}\eta^{3}[/math] - не обязано быть положительным

Вещественное евклидово пространство

Определение:

Пусть [math]E[/math] - вещественное псевдоевклидово пространство, [math]G(x,y)[/math] - положительно определённая, то есть [math]G(x,y)\ge0; G(x,x)=0 \Longleftrightarrow x = 0_{E}[/math]. Тогда [math]E[/math] - вещественное евклидово пространство.

Примеры

Пространство полиномов [math]E = P_{n};[/math]

[math]\left\langle p,q\right\rangle_{s} = \int_{-1}^{1} p(t)q(t)dt [/math]

Определение:

[math]G(x,y)=\left\langle x,y\right\rangle_{G}[/math] называется скалярным произведением x и y (в E)

Определение:

[math]\Vert x\Vert_{G}=\sqrt{\left\langle x,x\right\rangle_{G}}[/math] называется нормой вектора в вещественном евклидовом пространстве E

Лемма (1):

Любое вещественное пространство является нормированным.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Очевидно, можно переписать для нового определения три свойства нормы.

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

[math]x \in E[/math] называется нуль-вектором относительно метрики G, если [math]\left\langle x,x\right\rangle_{G} = 0[/math]