Алгебра

Умножение линейных операторов

Определение:

Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to Y [/math] и [math]\mathcal{B} \colon Y \to Z [/math], причём [math]\dim X = n[/math], [math]\dim Y = m[/math] и [math]\dim Z = p[/math]. Тогда отображение [math]\mathcal{C} \colon X \to Z[/math] называется называется произведением линейных операторов [math]\mathcal{B}[/math] и [math]\mathcal{A} \ (\mathcal{C} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A})[/math], если [math]\forall x \in X \colon \ \mathcal{C}(x) = \mathcal{B}(\mathcal{A}x)[/math]

Лемма:

Если [math]\mathcal{C} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A}[/math], то [math]\mathcal{C}[/math] - линейный оператор, т.е. [math]\mathcal{C} \in X \times Z [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

УПРАЖНЕНИЕ

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть [math]\{e_i\}_{i=1}^n[/math] - базис [math]X[/math], [math]\{h_k\}_{k=1}^m[/math] - базис [math]Y[/math], [math]\{l_s\}_{s=1}^p[/math] - базис [math]Z[/math] и пусть [math] A_{[m \times n]} = ||\alpha_k^i||[/math] - матрица [math]\mathcal{A}[/math], [math] B_{[p \times m]} = ||\beta_k^i||[/math] - матрица [math]\mathcal{B}[/math], [math]C_{[p \times n]} = ||\gamma_k^i||[/math] - матрица [math]\mathcal{C}[/math], где [math]\mathcal{C} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A}[/math]. Тогда [math]C = B \cdot A[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. [math]\mathcal{C}e_i = \sum\limits_{k=1}^{p} \gamma_{i}^{k} l_k[/math], т.е. [math]\gamma_{i}^{k} = (Ce_i)^k[/math] по определению матрицы [math]C[/math]. 2. [math]\mathcal{C}e_i = \mathcal{B} (\mathcal{A} e_i) = \mathcal{B} (\sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} h_j) \overset{\mathcal{B} - lin.op}{=} \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} \mathcal{B}(h_j) = \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} (\sum\limits_{k=1}^{p} \beta_{j}^{k} l_k) = [/math][math] \sum\limits_{k=1}^{p} (l_k \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_{j}^{k} \alpha_{i}^{j}) [/math], тогда из 1 и 2: [math]\gamma_i^k = \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_{j}^{k} \alpha_{i}^{j} \overset{def}{\Leftrightarrow} C_{[p \times n]} = B_{[p \times m]} \times A_{[m \times n]} [/math], для [math]i = 1..n[/math] и [math]k = 1..p[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Алгебра

Определение:

Линейное пространство [math]X[/math] над [math]F[/math] называется алгеброй, если в нём задана вторая бинарная операция [math]+[/math], и при этом [math]\forall x,y,z \in X [/math] и [math]\forall \alpha \in F \colon[/math] 1) [math](x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)[/math] 2) [math](x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z[/math] 3) [math]z \cdot (x + y) = z \cdot x + z \cdot y[/math] 4) [math]\alpha(x \cdot y) = (\alpha x)y = x(\alpha y)[/math]

N.B.:

Если [math]\forall x,y \in X \colon x \cdot y = y \cdot x [/math], то [math]X[/math] называется коммутативной (абелевой) алгеброй.

Теорема:

Пусть [math]X = F_n^n = \{ A_{[n \times n]} = ||\alpha_k^i||, \ \alpha_k^i \in F \}[/math], тогда [math]X[/math] - алгебра над [math]F[/math].

Теорема:

[math]X \times X[/math] - алгебра над [math]F[/math], где [math]X \times X = \{ \mathcal{A} \colon X \Rightarrow X \}[/math].

Изоморфные алгебры

Определение:

Пусть [math]X[/math] и [math]Y[/math] - алгебры над [math]F[/math]. Тогда назовём [math]X[/math] и [math]Y[/math] изоморфными, если [math]\exists \Leftrightarrow[/math] - соответствие между алгебрами, такое что 1) [math] \Leftrightarrow [/math] - взаимооднозначное соответствие, т.е. Для [math]x \in X, y \in Y \colon \ x \Leftrightarrow y[/math] 2) [math] \Leftrightarrow [/math] сохраняет линейную и мультипликативную структуру 1. [math]x_1 + x_2 \ \Leftrightarrow \ y_1 + y_2[/math] 2. [math]\alpha x_1 \ \Leftrightarrow \ \alpha y_1[/math] 3. [math]x_1x_2 \ \Leftrightarrow \ x_1x_2[/math] [math] \ [/math]

Теорема:

Алгебры [math]F_n^n[/math] и [math]X \times X[/math] - изоморфны.