Эта статья находится в разработке!
Мультипликативность функции
| Определение: |
Функция [math] \theta (a) [/math] называется мультипликативной, если выполнены следующие условия:
- 1. Функция [math] \theta (a) [/math] определена для всех целых положительных a и не обращается в 0 хотя бы при одном таком a
- 2. Для любых положительных взаимно простых [math] a_1 [/math] и [math] a_2 [/math] имеем [math] \theta(a_1 a_2) = \theta(a_1)\theta(a_2) [/math]
|
Сумма делителей
| Определение: |
| Функция [math]~\sigma (a) [/math] определяется как сумма делителей натурального числа a:
[math]
~\sigma (a) = \sum_{d|a} d
[/math] |
Функция [math]~\sigma (a) [/math] мультипликативна по тем же соображениям, что и [math]~\tau (a) [/math]
[math]
~\sigma (ab) = \sigma (a) \sigma(b)
[/math]
Функция Мёбиуса
| Определение: |
Функция Мёбиуса [math] \mu (a) [/math] определяется для всех целых положительных a. Она задается равенствами:
- [math] \mu (a) = 0 [/math], если a делится на квадрат, отличный от 1.
- [math] \mu (a) = {(-1)}^k [/math], если a не делится на квадрат, где k — число простых делителей a.
|
Свойства
- 1. Функция Мёбиуса мультипликативна.
- 2. Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа n, не равного единице, равна нулю
- [math]\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n\gt 1.\end{cases}[/math]
Свертка Дирихле
| Определение: |
Сверткой Дирихле двух мультипликативных функций f и g, называется функция вида:
[math] (f*g)(n) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d})[/math]
|
Свойство. [math] (f*g) [/math] - мультпликативна.
Доказательство свойства:
[math] (m;n)=1 \text{ ,} (f*g)(mn) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{nm}{d}) = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1 d_2)g(\frac{nm}{d_1 d_2}) = [/math]
[math] = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1) f(d_2)g(\frac{n}{d_1}) g(\frac{m}{d_2}) = (\sum_{d_1|n} f(d_1)g(\frac{n}{d_1}))*(\sum_{d_2|m} f(d_2)g(\frac{m}{d_2})) [/math] ч.т.д.
