Пусть дан автомат, распознающий определенный язык. Требуется найти эквивалентный автомат с наименьшим количеством состояний.
Минимизация ДКА
Если в ДКА существуют два эквивалентных состояния, то при их объединении мы получим эквивалентный ДКА, так как распознаваемый язык не изменится. Основная идея минимизации состоит в разбиении множества состояний на классы эквивалентности, полученные классы и будут состояниями минимизированного ДКА.
Простой алгоритм
| Определение: |
Класс [math]C[/math] разбивает класс [math]R[/math] по символу [math]a[/math] на [math]R_1[/math] и [math]R_2[/math], если
- [math]\forall r \in R_1 \,\,\, \delta(r, a) \in C[/math]
- [math]\forall r \in R_2 \,\,\, \delta(r, a) \notin C[/math]
|
Если класс [math]R[/math] может быть разбит по символу [math]a[/math], то он содержит хотя бы одну пару неэквивалентных состояний (так как существует строка которая их различает). Если класс нельзя разбить, то он состоит из эквивалентных состояний.
Поэтому самый простой алгоритм состоит в том, чтобы разбивать классы текущего разбиения до тех пор пока это возможно.
Итеративно строим разбиение множества состояний следующим образом.
- Первоначальное разбиение множества состояний — класс допускающих состояний [math]F[/math] и класс недопускающих состояний [math]Q \setminus F[/math].
- Перебираются символы алфавита [math]c \in \Sigma[/math], все пары [math](F, c)[/math] и [math](Q \setminus F, c)[/math] помещаются в очередь.
- Из очереди извлекается пара [math](C, a)[/math], [math]C[/math] далее именуется как сплиттер.
- Все классы текущего разбиения разбиваются на 2 подкласса (один из которых может быть пустым). Первый состоит из состояний, которые по символу [math]a[/math] переходят в сплиттер, а второй из всех оставшихся.
- Те классы, которые разбились на два непустых подкласса, заменяются этими подклассами в разбиении, а также добавляются в очередь.
- Пока очередь не пуста, выполняем п.3 – п.5.
Псевдокод
[math]Q[/math] — множество состояний ДКА.
[math]F[/math] — множество терминальных состояний.
[math]S[/math] — очередь пар [math](C, a)[/math].
[math]P[/math] — разбиение множества состояний ДКА.
[math]R[/math] — класс состояний ДКА.
[math]P \leftarrow \{ F, Q \setminus F \}[/math]
[math]S \leftarrow \varnothing [/math]
for [math]c \in \Sigma[/math]
[math]insert[/math] [math](F, c)[/math] to [math]S[/math]
[math]insert[/math] [math](Q \setminus F, c)[/math] to [math]S[/math]
while [math] S \ne \varnothing [/math]
[math]remove[/math] [math](C, a)[/math] from [math]S[/math]
for [math]R[/math] in [math]P[/math]
[math]R_1 = R \cap \delta^{-1} (C, a) [/math]
[math]R_2 = R \setminus R_1[/math]
if [math] R_1 \ne \varnothing [/math] and [math] R_2 \ne \varnothing [/math]
[math]replace[/math] [math]R[/math] in [math]P[/math] with [math]R_1[/math] and [math]R_2[/math]
for [math] c \in \Sigma [/math]
[math]insert[/math] [math](R_1, c)[/math] to [math]S[/math]
[math]insert[/math] [math](R_2, c)[/math] to [math]S[/math]
Когда очередь [math]S[/math] станет пустой, будет получено разбиение на классы эквивалентности, так как больше ни один класс невозможно разбить.
Время работы
Время работы алгоритма оценивается как [math]O(|\Sigma| \cdot n^2)[/math], где [math] n [/math] — количество состояний ДКА, а [math] \Sigma [/math]— алфавит. Это следует из того, что если пара [math](C, a)[/math] попала в очередь, и класс [math]C[/math] использовался в качестве сплиттера, то при последующем разбиении этого класса в очередь добавляется два класса [math]C_1[/math] и [math]C_2[/math], причем можно гарантировать лишь следующее уменьшение размера: [math]|C| \ge |C_i| + 1[/math]. Каждое состояние изначально принадлежит лишь одному классу в очереди, поэтому каждый переход в автомате будет просмотрен не более, чем [math]O(n)[/math] раз. Учитывая, что ребер всего [math]O(|\Sigma| \cdot n)[/math], получаем указанную оценку.
Алгоритм Хопкрофта
| Лемма: |
Класс [math]R = R_1 \cup R_2[/math] и [math]R_1 \cap R_2 = \varnothing[/math], тогда разбиение всех классов (текущее разбиение) по символу [math]a[/math] любыми двумя классами из [math]R, R_1, R_2[/math] эквивалентно разбиению всех классов с помощью [math]R, R_1, R_2[/math] по символу [math]a[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Разобьем все классы с помощью [math]R [/math] и [math] R_1[/math] по символу [math]a[/math], тогда для любого класса [math]B[/math] из текущего разбиения выполняется
- [math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R[/math] and [math] \delta(r, a) \in R_1[/math] or
- [math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R[/math] and [math] \delta(r, a) \notin R_1[/math] or
- [math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R[/math] and [math] \delta(r, a) \notin R_1[/math]
А так как [math]R = R_1 \cup R_2[/math] и [math]R_1 \cap R_2 = \varnothing[/math] то выполняется
- [math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_2 [/math] or
- [math] \forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_2[/math]
Из этого следует, что разбиение всех классов с помощью [math]R_2[/math] никак не повлияет на текущее разбиение.
Аналогично доказывается и для разбиения с помощью [math]R [/math] и [math] R_2[/math] по символу [math]a[/math].
Разобьем все классы с помощью [math]R_1[/math] и [math] R_2[/math] по символу [math]a[/math], тогда для любого класса [math]B[/math] из текущего разбиения выполняется
- [math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_1[/math] and [math] \delta(r, a) \notin R_2[/math] or
- [math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1[/math] and [math] \delta(r, a) \in R_2[/math] or
- [math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1[/math] and [math] \delta(r, a) \notin R_2[/math]
А так как [math]R = R_1 \cup R_2[/math] и [math]R_1 \cap R_2 = \varnothing[/math] то выполняется
- [math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R [/math] or
- [math] \forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R[/math]
Из этого следует, что разбиение всех классов с помощью [math]R[/math] никак не повлияет на текущее разбиение. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Алгоритм Хопкрофта отличается от простого тем, что иначе добавляет классы в очередь.
Если класс [math]R[/math] уже есть в очереди, то согласно лемме можно просто заменить его на [math]R_1[/math] и [math]R_2[/math].
Если класса [math]R[/math] нет в очереди, то согласно лемме в очередь можно добавить класс [math]R[/math] и любой из [math]R_1[/math] и [math]R_2[/math], а так как для любого класса [math]B[/math] из текущего разбиения выполняется
- [math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R [/math] or
- [math] \forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R[/math]
то в очередь можно добавить только меньшее из [math]R_1[/math] и [math]R_2[/math].
Псевдокод
[math]Q[/math] — множество состояний ДКА.
[math]F[/math] — множество терминальных состояний.
[math]S[/math] — очередь из пар [math](C, a)[/math].
[math]P[/math] — разбиение множества состояний ДКА.
[math]R[/math] — класс состояний ДКА.
[math]P \leftarrow \{ F, Q \setminus F \}[/math]
[math]S \leftarrow \varnothing [/math]
for [math]c \in \Sigma[/math]
[math] insert \ (min (F, Q \setminus F), c)[/math] to [math]S[/math]
while [math]S \ne \varnothing[/math]
[math](C, a) \leftarrow pop(S)[/math]
[math]T = \{R \ | \ R \in P, \ R[/math] split by [math](C, a) \}[/math]
for each [math]R[/math] in [math]T[/math]
[math] R_1, R_2 \leftarrow [/math] [math] split(R, C, a) [/math]
[math]replace[/math] [math]R[/math] in [math]P[/math] with [math]R_1[/math] and [math]R_2[/math]
for [math]c \in \Sigma[/math]
if [math](R, c)[/math] in [math]S[/math]
[math]replace \ (R, c)[/math] in [math]S[/math] with [math](R_1, c)[/math] and [math](R_2, c)[/math]
else
[math]insert \ (min(R_1, R_2), c)[/math] to [math]S[/math]
К сожалению, совсем не очевидно, как быстро находить множество [math]T[/math]. С другой стороны, понятно, что [math]T \subset T'[/math], где [math]T'[/math] — это множество классов текущего разбиения, из состояний которых в автомате существует переход в состояния сплиттера [math]C[/math] по символу [math]a[/math].
Модифицируем наш алгоритм: для каждой очередной пары [math] (C, a) [/math] будем находить [math] T' [/math], и с каждым классом состояний из [math] T' [/math] будем производить те же действия, что и раньше.
[math]P \leftarrow \{ F, Q \setminus F \}[/math]
[math]S \leftarrow \varnothing [/math]
for [math]c \in \Sigma[/math]
[math] insert \ (min (F, Q \setminus F), c)[/math] to [math]S[/math]
while [math]S \ne \varnothing[/math]
[math](C, a) \leftarrow pop(S)[/math]
[math]Inverse \leftarrow \{r \ | \ r \in Q, \ \delta(r, a) \in C\}[/math]
[math]T' \leftarrow \{R \ | \ R \in P, \ R \cap Inverse \neq \varnothing\}[/math]
for each [math]R[/math] in [math]T'[/math]
if [math]R[/math] split by [math](C, a)[/math]
[math] R_1, R_2 \leftarrow [/math] [math] split(R, C, a) [/math]
[math]replace[/math] [math]R[/math] in [math]P[/math] with [math]R_1[/math] and [math]R_2[/math]
for [math]c \in \Sigma[/math]
if [math](R, c)[/math] in [math]S[/math]
[math]replace \ (R, c)[/math] in [math]S[/math] with [math](R_1, c)[/math] and [math](R_2, c)[/math]
else
[math]insert \ (min(R_1, R_2), c)[/math] to [math]S[/math]
Каждая итерация цикла [math] while [/math] не может быть выполнена быстрее, чем за [math] O(|Inverse|) [/math] для текущей пары [math] (C,a)[/math]. Покажем, как достичь этой оценки.
qqq
Время работы
Время работы модифицированного алгоритма оценивается как [math]O(|\Sigma| \cdot n\log{n})[/math], где [math] n [/math] — количество состояний ДКА, а [math] \Sigma [/math]— алфавит. В данном случае при последующем разбиении в очередь будет добавлен класс [math]S_1[/math], причем [math]|S| \ge 2|S_1|[/math]. Каждый переход в автомате будет просмотрен не более, чем [math]O(\log{n})[/math] раз, ребер всего [math]O(|\Sigma| \cdot n)[/math], отсюда указанная оценка.
Литература
- Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 177 — ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)
- D. Gries. Describing an algorithm by Hopcroft. Technical Report TR-72-151, Cornell University, December 1972.
