Алгоритм Штор-Вагнера нахождения минимального разреза

Необходимые определения

[math]G[/math] - неориентированный взвешенный граф с [math]n[/math] вершинами и [math]m[/math] ребрами.

Определение:

Разрезом называется такое разбиение множества [math]V[/math] на два подмножества [math]A[/math] и [math]B[/math], что: [math]A, B \subset V[/math]; [math]A, B \neq \emptyset[/math]; [math]A \cap B = \emptyset[/math]; [math]A \cup B = V[/math].

Определение:

Весом разреза называется сумма весов рёбер, проходящих через разрез, т.е. таких рёбер, один конец которых принадлежит [math]A[/math], а второй конец - [math]B[/math]. [math]w(A, B) =[/math] [math]\sum\limits_{uv \in E, u \in A, v \in B} w(u, v)[/math]

Эту задачу называют "глобальным минимальным разрезом". Глобальный минимальный разрез равен минимуму среди разрезов минимальной стоимости по всевозможным парам исток-сток. Хотя эту задачу можно решить с помощью любого алгоритма нахождения максимального потока (запуская его O(n^2) раз для всевозможных пар истока и стока), однако ниже описан гораздо более простой и быстрый алгоритм, предложенный Матильдой Штор (Mechthild Stoer) и Франком Вагнером (Frank Wagner) в 1994 г.

В общем случае допускаются петли и кратные рёбра, все кратные рёбра можно заменить одним ребром с их суммарным весом а петли не влияют на решение. Поэтому будем считать, что кратных ребер и петель во входном графе нет.

Алгоритм

Идея алгоритма довольно проста. Будем [math]n-1[/math] раз повторять следующий процесс: находить минимальный разрез между какой-нибудь парой вершин [math]s[/math] и [math]t[/math], а затем объединять эти две вершины в одну (создавать новую вершину, список смежности которой равен объединению списков смежности [math]s[/math] и [math]t[/math]). В конце концов, после [math]n-1[/math] итерации, останется одна вершина. После этого ответом будет являться минимальный среди всех [math]n-1[/math] найденных разрезов. Действительно, на каждой [math]i[/math]-ой стадии найденный минимальный разрез [math]\langle A,B \rangle[/math] между вершинами [math]s_i[/math] и [math]t_i[/math] либо окажется искомым глобальным минимальным разрезом, либо же, напротив, вершины [math]s_i[/math] и [math]t_i[/math] невыгодно относить к разным множествам, поэтому мы ничего не ухудшаем, объединяя эти две вершины в одну.

Следовательно нам необходимо для данного графа найти минимальный разрез между какой-нибудь парой вершин [math]s[/math] и [math]t[/math]. Для этого вводим некоторое множество вершин [math]A[/math], которое изначально содержит единственную произвольную вершину [math]s[/math]. На каждом шаге находится вершина, наиболее сильно связанная с множеством [math]A[/math], т.е. вершина [math]v \not\in A[/math], для которой следующая величина [math]w(v,A) = \sum\limits_{(v,u) \in E, \atop u \in A} w(v,u)[/math] максимальна (максимальна сумма весов рёбер, один конец которых [math]v[/math], а другой принадлежит [math]A[/math]).