Участник:Dgerasimov/Численные методы

Какие-то ключевые темы

• Модельное уравнение теплопроводности
• Элементы теории аппроксимации
• Построение разностных схем методом конечных объемов
• Вычислительная устойчивость разностных схем. Простой анализ устойчивости.
• Метод дифференциального (?) приближения для анализа усойчивости разностных схем
• Метод фон Неймана анализа устойчивости разностных схем
• Численное решение нелинейных уравнений
• Численное решение уравнений с несколькими пространственными переменными
• Уравнения Навье-Стокса
• Примеры точных решений уравнений Навье-Стокса. Течение Пуазейля.
• Случай круглой трубы
• Метод SMAC
• Модификация SMAC, расщепление в дельта-форме.

Курсовой проект

TODO: запилить нормальное описание курсача

sfdfsdf

• W: Explicit and implicit methods
• W: Stiff equation
  • есть пример исследования устойчивости уравнения [math]y' = ky[/math]
• Stability analysis for systems of differential equations
  • есть хороший пример с явным, невным методами Эйера и Рунге-Куттой
• [1]
• Введение в разностные схемы — Самарский, стр. 19, 20

Вопросы от Сегаля

1. Классификация линейных уравнений в частных производных. Свойства консервативности и транспортивности. Типовые граничные условия для уравнений параболического и эллиптического типов.

<wikitex>Начально-краевые задачи:

1. Волновое уравнение: $\frac{\partial^2 T}{\partial t^2} - u^2 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает распространение волны по струне, акустические волны в газе/жидкости)
2. Уравнение теплопроводности (диффузии): $\frac{\partial T}{\partial t} - \kappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает релаксационное приближение системы к термодинамическому равновесию)
3. Уравение Лапласа: $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 0$ (описывает установившееся стационарное распределение)

Классификация: wiki Блаблабла классификация: гиперболическое (1), параболическое (2), эллиптическое (3).

Че-то про общее уравнение теплопроводности, про то, что его сложно решить и упрощение до модельного

Модельное уравнение теплопроводности: $\frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} - \kappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = Q$ — линейное с постоянным коэффициентом.

TODO: что-то там про нелинейное и квазилинейное

TODO: частные случаи

TODO: какие-то свойства точных решений

Свойства приближенных методов:

1. Транспортивность - свойство приближенного решения воспроизводить теоретическую скорость передачи сигнала.
2. Консервативность - свойство метода воспроизводить закон сохранения энергии.

Закон сохранения энергии в интегральной форме: $\frac{d}{dt} \int\limits_a^b T dx = -(uT - \kappa \frac {\partial T}{\partial x})|_a^b$

Принцип максимума (Понтрягина?): $T_a \le T_0(x) \le T_b \implies T_a \le T(x, t) \le T_b$ (для уравнения теплопроводности).

TODO: типовые граничные условия для уравнений параболического и эллиптического типов </wikitex>

3. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем. Теорема Лакса.

IMG_1127, страница 12

Рихтмайтер, страница 54

Теорема Лакса: конечно-разностная задача аппроксимирует исходную задачу с порядком q и обладает свойством вычислительной устойчивости, то ее решение сходится к исходному решению с порядком q.

1. • Lax equivalence theorem

4. Построение разностных схем методом разложения в ряд Тейлора. Параметрические разностные схемы.

IMG_1128

6. Прямой анализ устойчивости разностных схем для уравнения конвективного переноса. Число Куранта (сеточное число Струхала), критерий Куранта-Фридрихса-Леви (КФЛ).

IMG_1131

9. Анализ устойчивости разностных схем методом Фон Неймана.

IMG_1134

14. Уравнения Навье-Стокса и их особенности (нелинейность, неэволюционность, неустойчивость). Постановка начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса.

IMG_1144

• wiki

Нелинейность, неустойчивость, неэволюционный характер уравнений (что это??)

Что-то про выброшенный эффект

Квазистационарность по полю давления, возникает трудность с поиском давления.

Wall, Inlet, Outlet?

Что-то про векторный потенциал.

15. Точные решения уравнений Навье-Стокса. Решение Пуазейля.

• wiki
• wiki

16. Численное решение уравнений Навье-Стокса SMAC-методом.

• тык

Частично-неявная схема, расщепление по физическим процессам

Учебники от Сегаля

То, что присылалось в письме когда-то

1. А.А. Самарский. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.
2. Р. Рихтмайер, К. Мортон. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.
3. Д. Андерсон, Дж. Таннехил, Р. Плетчер. Вычислительная гидродинамика и теплообмен, т. 1,2. М.: Мир, 1990.
4. К. Флетчер. Вычислительные методы в динамике жидкостей., т.1,2. М.: Мир, 1991.
5. С. Патанкар. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Мир, 1984 (!!!).
6. Г.Н. Дульнев, В.Г. Парфенов, А.В. Сигалов. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена. М.: Высшая школа, 1990.