Определение
Трёхзначная логика (или троичная логика) — исторически первая многозначная логика. Является простейшим расширением двузначной логики.
Обычным примером трехзначной логики является состояние постоянного тока: движется в одну сторону, движется в другую сторону, либо отсутствует.
В традиционной трёхзначной логике "лжи" и "истине" соответствуют знаки „-“ и „+“. Третьему (серединному) состоянию соответствует знак "0".
Одноместные операции
Очевидно, что в троичной логике всего существует [math]3^3=27[/math] одноместных операций.
| [math]a[/math] | [math]-[/math] | [math]0[/math] | [math]+[/math] | |
| [math]f_0[/math] | - | - | - | [math]-[/math] |
| [math]f_1[/math] | - | - | 0 | [math]\searrow[/math] |
| [math]f_2[/math] | - | - | + | [math]S^+[/math] |
| [math]f_3[/math] | - | 0 | - | |
| [math]f_4[/math] | - | 0 | 0 | |
| [math]f_5[/math] | - | 0 | + | [math]a[/math] |
| [math]f_6[/math] | - | + | - | [math]S[/math] |
| [math]f_7[/math] | - | + | 0 | [math]NOT^-[/math] |
| [math]f_8[/math] | - | + | + | |
| [math]f_9[/math] | 0 | - | - | |
| [math]f_{10}[/math] | 0 | - | 0 | |
| [math]f_{11}[/math] | 0 | - | + | [math]NOT^+[/math] |
| [math]f_{12}[/math] | 0 | 0 | - | |
| [math]f_{13}[/math] | 0 | 0 | 0 | [math]0[/math] |
| [math]f_{14}[/math] | 0 | 0 | + | [math]a^+[/math] |
| [math]f_{15}[/math] | 0 | + | - | [math]INC[/math] |
| [math]f_{16}[/math] | 0 | + | 0 | [math]a^o[/math] |
| [math]f_{17}[/math] | 0 | + | + | [math]\nearrow[/math] |
| [math]f_{18}[/math] | + | - | - | [math]S^-[/math] |
| [math]f_{19}[/math] | + | - | 0 | [math]DEC[/math] |
| [math]f_{20}[/math] | + | - | + | |
| [math]f_{21}[/math] | + | 0 | - | [math]NOT[/math] |
| [math]f_{22}[/math] | + | 0 | 0 | [math]a^-[/math] |
| [math]f_{23}[/math] | + | 0 | + | |
| [math]f_{24}[/math] | + | + | - | |
| [math]f_{25}[/math] | + | + | 0 | |
| [math]f_{26}[/math] | + | + | + | [math]+[/math] |
[math]NOT^-[/math],[math]NOT[/math] и [math]NOT^+[/math] — инверсии. [math]NOT^-[/math] и [math]NOT^+[/math] сохраняют состояние "-" и "+" соответственно.
[math]INC[/math] и [math]DEC[/math] — модификации, увеличение/уменьшение на единицу по модулю три. При переполнении трита счёт начинается заново ([math]INC + = -[/math]).
[math]\textquotedblleft \,4TeX\, \textquotedblright[/math]
Алгебраические свойства
Свойства констант:
[math]a \wedge + = a[/math]
[math]a \wedge - = -[/math]
[math]a \vee + = +[/math]
[math]a \vee - = a[/math]
[math]\overline{-} = +[/math]
[math]\overline{+} = -[/math]
Для конъюнкции и дизъюнкции в троичной логике сохраняются коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы, закон идемпотентности.
Также действует закон двойного отрицания (отрицания Лукашевича) и тройного (циклического) отрицания:
[math]\overline{\overline{a}}=a[/math]
[math]a'''=a[/math]
Буквальное определение циклического отрицания вытекает из следующих свойств:
[math]- ' = 0[/math]
[math]0 ' = +[/math]
[math]+ ' = -[/math]
Третье состояние ("0") при отрицании Лукашевича неизменно:
[math]\overline{0} = 0[/math]
[math]\overline{(a \wedge 0)} = \overline{a} \vee 0[/math]
Для законов двоичной логики, не справедливых для троичной, существуют их троичные аналоги.
Закон несовместности состояний (аналог закона противоречия в двоичной логике):
[math]Sa \wedge Sa'' = -[/math]
[math]Sa' \wedge Sa'' = -[/math]
[math]Sa' \wedge Sa = -[/math]
Закон исключённого четвёртого (вместо закона исключённого третьего), он же закон полноты состояний:
[math]Sa' \vee Sa \vee Sa'' = +[/math], или
[math]S^-a \vee Sa \vee S^+a = +[/math]
Трёхчленный закон Блейка-Порецкого:
[math]a \vee Sa' \wedge b \vee Sa \wedge b = a \vee b[/math], или
[math]a \vee S^-a \wedge b \vee Sa \wedge b = a \vee b[/math]
