Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке

Определение:

Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке — непосредственное построение и перебор всех объектов заданного типа так, чтобы для любых двух объектов выполнялось условие: [math]K_i[/math] [math]\lt [/math] [math]K_i[/math][math]_+[/math][math]_1[/math].

Алгоритм построения

Описание процедуры построения

Данный алгоритм генерирует все объекты заданного типа в лексикографическом порядке. На каждом шаге генерируется минимальный возможный префикс требуемого объекта.

• [math]\mathrm{genObj(K, p)}[/math] — процедура генерирования
• [math]\mathrm{int}[/math] [math]\mathrm{ p}[/math] — глубина рекурсии
• [math]\mathrm{list \lt A\gt }[/math] [math]\mathrm{K}[/math] — текущий комбинаторный объект.
• [math]\mathrm{int}[/math] [math]\mathrm{len}[/math] — требуемый размер объекта
• [math]\mathrm{list \lt A\gt }[/math] [math]\mathrm{alpha}[/math] — все возможные элементы комбинаторного объекта, отсортированные в лексикографическом порядке
• [math]\mathrm{int}[/math] [math]\mathrm{n}[/math] — размер alpha
• [math]\mathrm{list \lt list \lt A\gt \gt }[/math] [math]\mathrm{ans}[/math] — список, содержащий все сгенерированные объекты в нужном порядке

list <A> genObj(K, p)
  if p == len                             // если сформирован объект нужного размера, то возвращаем его    
    ans.push_back(K);                     // записываем объект K в ответ
  else
    for i = 1 to n                        
       if к объекту К можно добавить элемент alpha[i] в конец
         K.push_back(alpha[i])                      
         genObj(K, p + 1)                 // добавляем alpha[i] в конец и вызываем функцию genObj от нового полученного префикса
         К.pop_back()

Генерация с помощью процедуры получения следующего объекта

Составляем первый объект — [math]K_1[/math], для него получаем следующий объект — [math]K_2[/math], для [math]K_2[/math] получаем [math]K_3[/math], далее действуем также, для [math]K_i[/math] получая [math]K_i[/math][math]_+[/math][math]_1[/math] объект, пока не получим последний объект [math]K_n[/math].

Примеры

Пример генерации сочетаний из N элементов по M в лексикографическом порядке

Данный алгоритм генерирует все сочетания из [math]n[/math] элементов по [math]m[/math].

• [math]\mathrm{genChooses(k, l)}[/math] — процедура генерирования
• [math]\mathrm{list \lt int\gt }[/math] [math]\mathrm{a}[/math] — текущее сочетание
• [math]\mathrm{int}[/math] [math]\mathrm{k}[/math] — следующий элемент в сочетании
• [math]\mathrm{int}[/math] [math]\mathrm{l}[/math] — глубина рекурсии
• [math]\mathrm{list \lt list \lt int\gt \gt ans}[/math] — все сгенерированные сочетания в нужном порядке

list <int> genChooses(k, l)
  a[l] = k;
  if l == m        
    ans.push_back(a)
  for i = k + 1 to n
    genChooses(i, l + 1);

Пример работы процедуры генерации

Иллюстрация работы процедуры генерирования всех сочетаний из 4 по 2.

Ссылки

• Перечисление (комбинаторика)
• ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА: АЛГОРИТМЫ
• Комбинаторика и переборные задачи
• Комбинаторика