Использование обхода в глубину для проверки связности

Алгоритм проверки наличия пути между двумя вершинами

Задача

Дан граф [math]G[/math] и две вершины [math]s[/math] и [math]t[/math]. Необходимо проверить, существует ли путь из вершины [math]s[/math] в вершину [math]t[/math] по рёбрам графа [math]G[/math].

Алгоритм

Небольшая модификация алгоритма обхода в глубину. Смысл алгоритма заключается в том, чтобы запустить обход в глубину из вершины [math]s[/math] и проверять при каждом посещении вершины, не является ли она искомой вершиной [math]t[/math]. Так как в первый момент времени все пути в графе "белые", то если вершина [math]t[/math] и была достижима из [math]s[/math], то по лемме о белых путях в какой-то момент времени мы зайдём в вершину [math]t[/math], чтобы её покрасить. Время работы алгоритма [math]O(M + N)[/math].

Реализация

bool[] visited;                                 //массив цветов вершин

bool dfs(u: int)              
    if (u == t)
        return true;    
    visited[u] = true;                          //помечаем вершину как пройденную
    for (v таких, что (u, v) — ребро в G)       //проходим по смежным с u вершинам
        if (not visited[v])                     //проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине
            if (dfs(v))
                return true;
    return false;

Алгоритм проверки связности графа G

Задача

Дан неориентированный граф [math]G[/math]. Необходимо проверить, является ли он связным.

Алгоритм

Заведём счётчик количества вершин которые мы ещё не посетили. В стандартной процедуре dfs() будем уменьшать счётчик на единицу при входе в процедуру. Запустим алгоритм от некоторой вершины нашего графа. Если в конце работы процедуры dfs() счётчик равен нулю, то мы побывали во всех вершинах графа, а следовательно он связен. Если счётчик отличен от нуля, то мы не побывали в какой-то вершине графа. Работает алгоритм за [math]O(M + N)[/math].

Реализация

bool[] visited;                                //массив цветов вершин
int k = n;                                     //счетчик изначально равен количеству вершин

function dfs(u: int)              
    k--;
    visited[u] = true;                         //помечаем вершину как пройденную
    for (v таких, что (u, v) — ребро в G)      //проходим по смежным с u вершинам
        if (not visited[v])                    //проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине
            dfs(v);

См. также

• Обход в глубину, цвета вершин
• Лемма о белых путях
• Использование обхода в глубину для поиска цикла в ориентированном графе