Пересечение матроидов, определение, примеры

Определение:

Пусть даны два матроида [math]M_1 = \langle X, \mathcal{I}_1\rangle[/math] и [math]M_2 = \langle X, \mathcal{I}_2 \rangle[/math]. Пересечением матроидов (англ. matroid intersection) [math]M_1[/math] и [math]M_2[/math] называется пара [math]M_1 \cap M_2 = \langle X, \mathcal{I} \rangle[/math], где [math]X[/math] — носитель исходных матроидов, а [math] \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2[/math].

• Пересечение матроидов не всегда является матроидом.
• Пересечение трех и более матроидов — это NP-полная задача.

Разноцветный лес

[math]M_1[/math] — графовый матроид, [math]M_2[/math] — разноцветный матроид (англ. multicolored matroid) (Множество независимо, если в нём нет двух ребер одного цвета). Тогда их пересечение — это разноцветный лес (англ. rainbow forests).

Утверждение:

Пересечение данных матроидов не является матроидом.

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим пару [math]\langle X, \mathcal{I}\rangle[/math], [math]X[/math] — ребра разноцветного леса, [math] \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2[/math]. Данная пара не является матроидом, так как не выполняется третье свойство матроида, то есть [math]\exists A, B \in \mathcal{I}, |A| \gt |B| [/math] и [math]\nexists \, x \in A \setminus B : B \cup \{x\} \in \mathcal{I}[/math] (См. пример 1) Пример 1

[math]\triangleleft[/math]

Двудольный граф

Пусть [math]G[/math] — двудольный граф и заданы два матроида [math]M_1 = \langle X, \mathcal{I}_1 \rangle[/math], [math]M_2 = \langle X, \mathcal{I}_2 \rangle[/math], где [math]X[/math] — множество ребёр графа, [math]\mathcal{I}_1 = \{F \subseteq X: \deg(v) \leqslant 1 \: \forall v \in L \}[/math], [math]\mathcal{I}_2 = \{F \subseteq X: \deg(v) \leqslant 1 \: \forall v \in R \}[/math]. Тогда их пересечение — это множество всевозможных паросочетаний графа.

Утверждение:

Пересечение данных матроидов не является матроидом.

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим пару [math]\langle X, \mathcal{I}\rangle[/math], [math]X[/math] — носитель, [math] \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2[/math]. Данная пара не является матроидом, так как не выполняется третье свойство матроида, то есть [math]\exists A, B \in \mathcal{I}, |A| \gt |B| [/math] и [math]\nexists \, x \in A \setminus B : B \cup \{x\} \in \mathcal{I}[/math] (См. пример 2) Пример 2

[math]\triangleleft[/math]

Ориентированное дерево

Определение:

Ориентированное дерево (англ. arborescence) — ацикличный орграф (ориентированный граф, не содержащий циклов), в котором только одна вершина имеет нулевую степень захода (в неё не ведут дуги), а все остальные вершины имеют степень захода [math]1[/math] (в них ведёт ровно по одной дуге).

Пусть [math]D = \langle V, A \rangle [/math] — ориентированнный граф. Граф [math]G[/math] — неориентированный граф, соответствующий графу [math]D[/math]. Тогда рассмотрим два матроида [math]M_1 = \langle A, \mathcal{I}_1 \rangle, M_2 = \langle A, \mathcal{I}_2 \rangle[/math], где [math]A[/math] — множество ребёр графа. [math]M_1[/math] — графовый матроид [math]G[/math], [math]\mathcal{I}_1 = \{A' \subseteq A: A'[/math] — лес в [math]G \}[/math]. [math]M_2[/math] — матроид разбиений графа [math]D[/math], [math]\mathcal{I}_2 = \{A' \subseteq A: |\deg^-(v) \cap A'| \leqslant 1, \forall v \in V \}[/math]. Пересечением данных матроидов являются множества ориентированных деревьев.

См. также

• Примеры матроидов
• Алгоритм построения базы в пересечении матроидов
• Алгоритм построения базы в объединении матроидов

Источники информации

• Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы (глава 4. Матроиды)
• Lecture notes on matroid intersection