[math]\ln x[/math] выпукла вверх.
Рассмотрим [math]\alpha_k: \forall \alpha_k \geq 0[/math], [math]\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k = 1[/math] и набор [math]\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}[/math].
Применим неравенство [math]\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k\ln x_k \leq \ln \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k[/math]. Потенциируем.
[math]e^{\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k \ln x_k} \leq e^{\ln \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k x_k}[/math]
Запишем сумму логарифмов как логарифм произведения:
[math]\prod\limits_{k = 1}^n x_k^{\alpha_k} \leq \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k[/math]
Частный случай — неравенство между обобщенным средним геометрическим и средним арифметическим при [math]\alpha_k = \frac1n[/math]:
[math]\sqrt[n]{\prod\limits_{k = 1}^n x_k} \leq \frac1n \sum\limits_{k = 1}^n x_k[/math]
Пусть теперь [math]n = 2[/math]. Тогда
[math]x_1^{\alpha_1} \cdot x_2^{\alpha_2} \leq \alpha_1x_1 + \alpha_2x_2, \, \alpha_1+\alpha_2 = 1, \, \alpha_i \geq 0, \, i = \overline{1, 2}[/math]
[math]u = x_1^{\alpha_1}$, $v = x_2^{\alpha_2}[/math]
[math]uv \leq \alpha_1 u^{1/\alpha_1} + \alpha_2 v^{1/\alpha_2}[/math]
[math]p \gt 1[/math].
| Определение: |
| [math]q[/math] такое, что [math]\frac1p + \frac1q = 1[/math] называется сопряжённым к [math]p[/math]. |
[math]\boxed{uv \leq \frac1p u^p + \frac1q v ^ q}[/math] — неравенство Юнга.
Теорема Гёльдера
| Теорема (Гёльдера): |
Пусть [math]a_1; a_2 \ldots a_n \gt 0[/math], [math]b_1; b_2 \ldots b_n \gt 0[/math], [math]p \gt 1[/math], [math]\frac1p + \frac1q = 1[/math]
Тогда
[math]
\sum\limits_{k=1}^n a_k b_k \leq
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p} +
\left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p \right)^{1/q}
[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Обозначим [math]A = \left( \sum\limits_{k = 1}^n a_k p \right)^{1/p}[/math], [math]B = \left( \sum\limits_{k = 1}^n b_k q \right)^{1/q}[/math]
По неравенству Юнга
[math]
\forall k : \left(\frac{a_k}A\right) \cdot \left(\frac{b_k}B\right) \leq
\frac1p \left(\frac{a_k}A\right)^p + \frac1q \left(\frac{b_k}B\right)^q
[/math]
Сложим по [math]k = \bar{1, n}[/math]:
[math]
\sum\limits_{k = 1}^n \frac{a_k}{A} \cdot \frac{b_k}{B} \leq
\frac1p \sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{a_k}A\right)^p + \frac1q \sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{b_k}B\right)^q =
\frac1p \frac1{A^p} \sum\limits_{k = 1}^n a_k^p + \frac1q \frac1{B_q} \sum\limits_{k = 1}^n b_k^q =
\frac1p \frac1{A^p} A^p + \frac1q \frac1{B^q} B_q =
1
[/math]
Получили, что [math]\sum\limits_{k = 1}^n \frac{a_k}{A} \frac{b_k}{B} \leq 1 \Rightarrow
\sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k \leq AB[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
Следствие
Для [math]a_k, b_k \gt 0[/math] выполняется свойство Коши для сумм:
[math]
\sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k \leq \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n a_k^2} + \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n b_k^2}
[/math]
Для этого нужно подставить [math]p = q = 2[/math].
Теорема Минковского
| Теорема (Минковского): |
Пусть снова [math]a_1; a_2 \ldots a_n \gt 0[/math], [math]b_1; b_2 \ldots b_n \gt 0[/math], [math]p \leq 1[/math].
Тогда
[math]
\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p \right)^{1/p} \leq
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} + \left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p}
[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
При [math]p = 1[/math] неравенство тривиально. Пусть тогда [math]p \ne 1[/math].
[math]p \gt 1: (a_k + b_k)^p = a_k(a_k + b_k)^{p - 1} + b_k(a_k + b_k)^{p - 1}$, $p - 1 \gt 0[/math].
Так как [math]p \gt 1[/math], положим [math]q = \frac{p}{p - 1}[/math]. Применяем к
[math]\sum\limits_{k = 1}^n a_k (a_k + b_k)^{p - 1}[/math] неравенство Гольдера:
[math]
\sum\limits_{k = 1}^n a_k(a_k + b_k)^{p - 1} \leq
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p} \cdot \left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^{p/q}\right)^{1/q}
[/math]
[math]
\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p =
\sum\limits_{k = 1}^n a_k(a_k + b_k)^{p - 1} + \sum\limits_{k = 1}^n b_k(a_k + b_k)^{p - 1} \leq
[/math]
[math]
\leq \left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} \cdot
\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/q} +
\left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p} \cdot
\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/q}
[/math]
Итого:
[math]
\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1 - \frac1q} =
\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/p} \leq
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} +
\left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p}
[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
Следствие
Неравенство Коши для сумм:
[math]
\sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^2} \leq
\sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n a_k^2} +
\sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n b_k^2}
[/math]
