Упорядоченное множество

Упорядоченное множество (англ. ordered set) представляет собой коллекцию элементов, каждому из которых присваивается определенный ключ, отвечающий за порядок этого элемента в множестве. Бинарное отношение на упорядоченном множестве является отношением порядка.

Вполне упорядоченным множеством, которое явяется важнейшим частным случаем, называется упорядоченное множество, каждое непустое подмножество которого содержит минимальный элемент.

Операции над упорядоченным множеством

Над упорядоченным множеством [math]set[/math] заданы следующие операции:

• [math]\mathrm {insert(set, elem)}[/math] — добавляет заданный элемент [math]elem[/math] в подходящее место множества [math]set[/math] (сохраняя свойство упорядоченности),
• [math]\mathrm {delete(set, elem)}[/math] — удаляет элемент [math]elem[/math] (сохраняя свойство упорядоченности),
• [math]\mathrm {search(set, elem)}[/math] — получает на вход искомое значение элемента [math]elem[/math] и возвращает [math]true[/math] при наличии элемента в множестве или [math]false[/math] в противном случае,
• [math]\mathrm {minimum(set)}[/math] — возвращает минимальный элемент множества [math]set[/math],
• [math]\mathrm {maximum(set)}[/math] — возвращает максимальный элемент множества [math]set[/math],
• [math]\mathrm {predecessor(set, elem)}[/math] — возвращает элемент, стоящий перед элементом [math]elem[/math] множества [math]set[/math].
• [math]\mathrm {successor(set, elem)}[/math] — возвращает элемент, стоящий после элемента [math]elem[/math] множества [math]set[/math].

Наивная реализация на массиве

Упорядоченное множество [math]s[/math], содержащее [math]n[/math] элементов, можно реализовать с помощью отсортированного массива [math]elements[0..n-1][/math].

Рассмотрим реализацию на примере отсортированного по возрастанию целочисленного массива.

struct Set<T>:
  int n                            // количество элементов множества
  T[n] elements                    // массив элементов множества типа T

insert

func insert(Set<T> s, T elem):
    s.n = s.n + 1                                    // Увеличиваем количество элементов множества на единицу,
                                                     // увеличиваем размер массива с элементами множества на единицу.
    s.elements[s.n - 1] = elem                       // Вставляем elem в конец массива
    int i = s.n - 1
    while s.elements[i] < s.elements[i - 1]          // Сортируем массив,
        swap(s.elements[i], s.elements[i - 1])       // пока elem не окажется в нужном месте.

Время выполнения — [math]O(n)[/math].

delete

func delete(Set<T> s, T elem):
    int i = 0                                         // Устанавливаем счетчик на первый элемент.
    while i < s.n and s.elements[i] != elem           // Ищем индекс элемента elem.
        i++
    if i != s.n                                       // Если элемент найден, то
        for j = i to s.n - 2                          // сдвигаем все элементы массива, большие elem,
            s.elements[j] = s.elements[j + 1]         // на одну позицию влево (elem удаляется).
        s.n = s.n - 1                                 // Уменьшаем число элементов массива на единицу.

Время выполнения — [math]O(n)[/math].

search

Для нахождения результата используем бинарный поиск.

bool search(Set<T> s, T elem):
    int i = binSearch(s.elements, elem)
    return s.elements[i] == elem                         // Сравниваем найденное значение с искомым...

Время выполнения — [math]O(\log n)[/math].

minimum

Первый элемент множества минимальный, так как массив отсортирован по возрастанию.

T minimum(Set<T> s):
    T min = s.elements[0]
    return min

Время выполнения — [math]O(1)[/math].

maximum

Выполняется аналогично операции [math]\mathrm {minimum(set)}[/math].

T maximum(Set<T> s):
    T max = s.elements[s.n - 1]
    return max

Время выполнения — [math]O(1)[/math].

predecessor

Выполняется аналогично операции [math]\mathrm {search(set, elem)}[/math].

T predecessor(Set<T> s, T elem):
    int i = binSearch(s.elements, elem)
    if s.elements[i] == elem and i > 0           // Элемент, предшествующий первому, не существует.
        return s.elements[i - 1]
    else
        return null

Время выполнения — [math]O(\log n)[/math].

successor

В операции используется левосторонний бинарный поиск, который вернет такое [math]i[/math], что [math] s.elements[i - 1]\lt elem\leqslant s.elements[i] [/math].

T successor(Set<T> s, T elem):
    int i
    if elem > s.elements[s.n - 1]                            // Если элемент больше максимального,
        return null                                          // возвращаем null.
    else
        if elem < s.elements[0]                              // Если элемент меньше минимального,
            i = 0                                            // возвращаем минимальный элемент.
        else
            i = binSearch(s.elements, elem)                  // Иначе ищем элемент, больший либо равный elem.
        if s.elements[i] == elem
            return s.elements[i + 1]
        else
            return s.elements[i]

Время выполнения — [math]O(\log n)[/math].

Замечания

• В случае, когда упорядоченность элементов коллекции не важна, возможно использование хешей.
• Если задан массив с повторяющимися элементами, то в операциях [math]\mathrm {predecessor(set, elem)}[/math] и [math]\mathrm {successor(set, elem)}[/math] следует использовать левосторонний и правосторонний бинарный поиск соответственно.

Примеры

• Пустое множество [math] \varnothing [/math],
• множество натуральных чисел [math] \mathbb N [/math],
• множество целых чисел [math] \mathbb Z [/math],
• строки, отсортированные в лексикографическом порядке.

Источники информации

• Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / — 1-е изд. — Пер. с англ под ред. А. Шеня. — М.: МЦНМО, 2002.—960 с. — ISBN 5-900916-37-5
• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — 368 с.
• Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 с.
• Википедия — Упорядоченное множество