NP-полнота задачи о независимом множестве

Формулировка

Языком IND называют множество пар [math]\langle G,k \rangle[/math], где [math]G[/math] - неориентированный граф, [math]k[/math] - натуральное число. Слово принадлежит языку IND, если ли граф [math]G[/math] содержит подграф [math]H[/math] размером [math]k[/math], никакая пара вершин в котором не соединена ребром.

Доказательство NP-полноты

Для доказательства NP-полноты задачи о независимом множестве покажем, что она является NP-трудной и принадлежит классу NP.

Задача о независимом множестве является NP-трудной

Для доказательства этого сведем по Карпу задачу [math]3-SAT[/math] к нашей:

[math]3-SAT \le_{k} IND[/math]

Пусть задана булева формула в [math]3-SAT[/math], в которой [math]k[/math] скобок. Построим для нее соответствующий граф. Для каждой скобки нарисуем три вершины, соединим их попарно ребрами и подпишем их именами соответствующих переменных. При этом если переменная входит в формулу с отрицанием, отобразим это в графе. Так же соединим ребрами пары вершин вида [math]x,\overline{x}[/math].

[math](\overline{x}\lor y\lor z)\land (x \lor y \lor \overline{z}) \to[/math]

Докажем, что формула выполнима тогда и только тогда, когда в соответствующем графе есть независимое множество из [math]k[/math] вершин. Пусть формула выполнима, тогда в каждой скобке есть хотя бы одна переменная, принимающая значение “правда” (учитываем отрицание, если оно есть). Выберем соответствующую переменную в качестве вершины в графе. Полученное множество вершин является независимым, так как ребрами соединены только те вершины, которые соответствуют переменным из одной скобки(а мы выбирали только одну переменную из каждой скобки), а так же вершины вида [math]x,\overline{x}[/math], соответствующие переменные которых не могут одновременно принимать значение “правда”. Пусть теперь в графе есть независимое множество, размера [math]k[/math]. Тогда в каждой тройке вершин, соответствующих некоторой скобке, выбрана ровно одна вершина. Установим значение соответствующей переменной “правда”(с учетом отрицания). Это можно сделать, так как нет ребер между вершинами вида [math]x,\overline{x}[/math]. Тогда в каждой скобке, будет хотя бы одна переменная, имеющая значение “правда”, значит вся формула будет принимать значение “правда”. Построение по формуле соответствующего графа можно сделать за полиномиальное время.

Задача о независимом множестве принадлежит классу NP

В качестве сертификата возьмем набор из [math]k[/math] вершин. За время [math]O(k^2)[/math] можно проверить, является ли данное множество вершин независимым.