Предел отображения в метрическом пространстве

Эта статья находится в разработке!

1. [math](X, \rho)[/math] — МП. [math]\forall Y \subset X : (Y, \rho)[/math] — МП.
2. [math]x \in A[/math]. A — окрестность точки x, если [math]\exists V: x \in V \subset A [/math]

O(x) - окрестность точки x. [math] V_r(x) = O(x)[/math](в частности).

Числовая прямая - окрестность любого числа.

[math]A, b \in X[/math]. b является предельной точкой для A, если в любой O(b) находится бесконечное число точек, принадлежащих A.

Пример:

[math] \mathbb R, A = (0; 1); 0 \notin A[/math], 0 — предельная точка(как и 1, например).

Пусть [math] A \subset X, a [/math] — предельная точка [math]A, (X, \rho), (Y, \bar \rho)[/math].

[math] f: A \rightarrow Y, b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x), b \in Y[/math] , т.е. [math]\forall \varepsilon \gt 0 \, \exists \delta \gt 0: 0 \lt \rho(x, a) \lt \delta \Rightarrow \bar \rho(f(x), b) \lt \varepsilon [/math]

Так как a — предельная точка A, то у нас есть гарантии, что [math]0 \lt \rho(x, a) \lt \delta[/math] выполнимо для бесконечного числа [math] x \in A[/math]. Отметим: если [math]a \in A[/math], то f(a) нас не интересует.