Определение
| Определение: |
| Аффинное пространство – это множество [math]A[/math], ассоциированное с векторным пространством [math]V[/math] над полем [math]K[/math] и свободным действием аддитивной группы [math]V[/math]. |
Элементы аффинного пространства [math]A[/math] называются точками, элементы векторного пространства [math]V[/math] – векторами.
Другим языком, данное определение говорит, что существует отображение [math](+) : A \times V \rightarrow A[/math], обладающее следующими свойствами:
- [math]\forall a \in A : a + 0 = a[/math];
- [math]\forall v, w \in V, a \in A : (a + v) + w = a + (v + w)[/math];
- Для всех [math]a[/math] из [math]A[/math] отображение [math](a+)[/math] биективно (и для всех [math]v[/math] из [math]V[/math] [math](+v)[/math] тоже биективно).
Последнее свойство позволяет определить вычитание двух элементов из [math]A[/math].
Пусть [math]a, b \in A[/math], тогда [math]b - a[/math] или [math]\overrightarrow{ab}[/math] это такой вектор из [math]V[/math], что [math]a + \overrightarrow{ab} = b[/math].
Таким образом определённое вычитание обладает следующими свойствами:
- [math]\forall a \in A, v \in V \ \exists ! b \in A : \overrightarrow{ab} = v[/math];
- [math]\forall a, b, c \in A : \overrightarrow{ab} + \overrightarrow{bc} = \overrightarrow{ac}[/math].
Базисы
| Определение: |
| Набор векторов [math]\{\vec{e}_i\}_{i=1}^n[/math] называется линейно независимым (ЛНЗ), если его линейная комбинация [math]\sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{e}_i[/math] равна нулю только в том случае, если она тривиальная, то есть [math]\forall i : \alpha_i = 0[/math]. |
| Определение: |
| Векторное пространство называется [math]d[/math]-мерным, если в нём существует набор из [math]d[/math] линейно независимых векторов,
и не существует набора из [math]d + 1[/math] линейно независимого вектора. |
Единственность
| Утверждение: |
В [math]d[/math]-мерном пространстве любой вектор [math]\vec{A}[/math] единственным образом раскладывается в базисе из [math]d[/math] линейно независимых векторов [math]\{\vec{e}_i\}_{i=1}^d[/math] как [math]\sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i[/math]. |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Если мы добавим в базис вектор [math]\vec{A}[/math], то он обязательно станет линейно зависимым, и, значит, найдутся такие [math]\beta[/math] и [math]\{\alpha_i\}[/math], что
[math]\displaystyle \beta \vec{A} + \sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i=0 \implies
\vec{A} = \sum\limits_{i=1}^d-\frac{\alpha_i}{\beta}\vec{e}_i[/math],
и, значит, разложение существует.
Теперь пусть есть два разложения [math]\sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i=\vec{A}[/math] и [math]\sum_{i=1}^d\beta_i\vec{e}_i=\vec{A}[/math].
Тогда
[math]\displaystyle \vec{A} - \vec{A} = \vec{0} = \sum_{i=1}^d(\alpha_i - \beta_i)\vec{e}_i[/math],
однако такое может быть только в том случае, если линейная комбинация тривиальная, то есть
[math]\alpha_i - \beta_i = 0 \implies \alpha_i = \beta_i \implies[/math] разложение единственно. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Матрица перехода
Мы можем переходить из одного базиса в другой.
Пусть у нас есть базисы [math]\{\vec{e}_i\}_{i=1}^d[/math] и [math]\{\vec{f}_i\}_{i=1}^d[/math].
[math]\displaystyle
\vec{A} = \sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i = \sum_{i=1}^d\beta_i\vec{f}_i \ \land\
\vec{e}_i = \sum_{j=1}^d c_{ij}\vec{f}_j[/math]
[math]\displaystyle
\vec{A} = \sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i =
\sum_{i=1}^d \alpha_i \sum_{j=1}^d c_{ij} \vec{f}_j =
\sum_{j=1}^d \vec{f}_j \sum_{i=1}^d \alpha_i c_{ij}[/math]
[math]\displaystyle
\beta_j = \sum_{i=1}^d\alpha_i c_{ij} \implies
\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_d \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{21} & \cdots & c_{d1} \\
c_{12} & c_{22} & \cdots & c_{d2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{1d} & c_{2d} & \cdots & c_{dd}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_d \end{pmatrix}
[/math]
