Материал из Викиконспекты
Эта статья находится в разработке!
| Определение: |
| [math](s,t)[/math]-разрезом [math]\lt S,T\gt [/math] в сети [math]G[/math] называется пара множеств [math]S,T[/math], удоволетворяющих условиям:
1) [math]s\in S, t\in T[/math]
2) [math]S\cup T=V[/math]
3) [math]S\cap T=\emptyset[/math] |
Поток через разрез
| Определение: |
| Пропускная способность разреза [math]\lt S,T\gt [/math] обозначается [math]c(S,T)[/math] и вычисляется по формуле: [math]c(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}c(u,v)[/math]. |
| Определение: |
| Поток в разрезе [math]\lt S,T\gt [/math] обозначается [math]f(S,T)[/math] и вычисляется по формуле: [math]f(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(u,v)[/math]. |
| Лемма: |
Пусть [math]\lt S,T\gt [/math] - разрез в [math]G[/math]. Тогда [math]f(S,T)=|f|[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math]f(S,T)=f(S,V)-f(S,S)=f(S,V)=f(S\setminus s,V)+f(s,V)=f(s,V)=|f|[/math]
1-е равенство выполняется, так как суммы не пересекаются ([math]f(S,V)=f(S,S)+f(S,T)[/math]);
2-е равенство выполняется из-за антисимметричности ([math]f(S,S)=-f(S,S)=0[/math]);
3-е равенство выполняется, как и 1-е, из-за непересекающихся сумм;
4-е равенство выполняется из-за сохранения потока. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Лемма (закон слабой двойственности потока и разреза): |
Пусть [math]\lt S,T\gt [/math] - разрез в [math]G[/math]. Тогда [math]f(S,T)\le c(S,T)[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math]{c(S,T)-f(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}c(u,v)-\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(u,v)=
\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}(c(u,v)-f(u,v))\ge 0}[/math], из-за органичений пропускных способностей ([math]f(u,v)\le c(u,v)[/math]). |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Лемма: |
Если [math]f(S,T)=c(S,T)[/math], то поток [math]f[/math] - максимален, а разрез [math]\lt S,T\gt [/math] - минимален. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Из закона слабой двойственности следует, что [math]f(S_1,T_1)\le c(S_2,T_2)[/math] для любых двух разрезов [math]\lt S_1,T_1\gt [/math] и [math]\lt S_2,T_2\gt [/math] в сети [math]G[/math] (так как [math]f(S_1,T_1)=|f|=f(S_2,T_2)\le c(S_2,T_2)[/math]).
Значит, если расположить все величины потоков и разрезов на оси OX, то у потоков с разрезами может быть максимум 1 точка пересечения.
Очевидно, что эта точка определяет максимальный поток среди всех потоков и минимальный разрез среди всех разрезов сети [math]G[/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
