Разложение рациональной функции в ряд

Определение:

Рациональная функция — это формальный функция вида: [math]G(z)=\dfrac{P(z)}{Q(z)}[/math], где P и Q - полиномы.

Рациональные производящие функции получаются при решении линейных рекуррентных соотношений. По этой причине актуальной является задача о разложении рациональной функции в ряд по степеням переменной z.
Чтобы разложить дробь в ряд, необходимо разбить её на сумму элементарных дробей.

Определение:

Элементарными дробями будем называть дроби вида: [math]\dfrac{A}{(x-a)^n}[/math], [math]\dfrac{Bx + C}{(x^2 + px + q)^m}[/math], где m, n >= 1 и (x^2 + px + q) не имеет рациональных корней

Затем, элементарные дроби сможем разложить в ряд, пользуясь формулами преобразования производящих функций и таблицей производящих функций.

Общий алгоритм

1. Привести дробь P(z)/Q(z) к такому виду, чтобы степень числителя была меньше степени знаменателя.Если deg(P) > deg(Q), то можем записать [math]G(z)=\dfrac{P(z)}{Q(z)} = R(z)+\dfrac{P0(z)}{Q(z)}[/math], где deg(P0) < deg(Q)
2. Разобьем знаменатель Q(z) на множители Q(z) = (zk-z)^k1 *..., где z1, z2, ..., zs - корни уравнения Q(z) = 0. При этом, k1+k2+⋅⋅⋅+ks=deg Q После разбиения знаменателя на множители получим: [math]G(z)=\dfrac{P(z)}{(z1-z)^k1 *...(zs-z)^ks}[/math] (k1, ks - сделать индексами)
3. Приведем G(z) к сумме дробей, знаменатели которых будут иметь вид (zj−z)^kj, а числители — полиномы Pj(z), причем deg Pj(z)<kj. [math]G(z)=\dfrac{P(z)}{(z1-z)^k1 *...(zs-z)^ks} = \sum\limits \dfrac{Pj(z)}{(zj-z)^kj}[/math]. Найдем Pj(z) с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Метод неопределенных коэффициентов

1. Записать сумму дробей, знаменатили которых будут иметь вид (zs−z)ks, а числители — полиномы с неопределёнными коэффициентами, имеющие степень ks−1.
2. Сложить выписанные дроби и сгруппировать слагаемые в числителе по степеням z.
3. Прировнять полученные выражения с неопределёнными коэффициентами к соответсвующим коэффициентам полинома P(z), составив, таким образом, систему линейных уравнений.
4. Решить систему и получить значения неопределённых коэффициентов.