Определения
| Определение: |
| Рациональная функция — это функция вида:
[math]G(z)=\dfrac{P(z)}{Q(z)}[/math],
где [math]P[/math] и [math]Q[/math] - полиномы. |
Рациональные производящие функции получаются при решении линейных рекуррентных соотношений. По этой причине актуальной является задача о разложении рациональной функции в ряд по степеням переменной [math]z[/math].
Чтобы разложить дробь в ряд, необходимо разбить её на сумму элементарных дробей.
| Определение: |
| Элементарными дробями будем называть дроби вида:
[math]\dfrac{A}{(x-a)^n}, \qquad \dfrac{P(x)}{(Q(x))^m}[/math],
где [math] m, n \geqslant 1[/math], [math]P(x), Q(x)[/math] - полиномы, причем [math]Q(x)[/math] - полином, не имеющий рациональных корней и [math]\deg(P) \lt \deg(Q)[/math]. |
Затем, элементарные дроби сможем разложить в ряд, пользуясь формулами преобразования производящих функций и таблицей производящих функций.
Общий алгоритм
- Привести дробь [math]\dfrac{P(z)}{Q(z)}[/math] к такому виду, чтобы степень числителя была меньше степени знаменателя. Если [math]\deg(P) \gt \deg(Q)[/math], то можем записать [math]G(z)=\dfrac{P(z)}{Q(z)} = R(z)+\dfrac{P_0(z)}{Q(z)},[/math] где [math]\deg(P_0) \lt \deg(Q)[/math].
- Отыскать корни уравнения [math]Q(z)=0[/math] и разбить знаменатель на множители вида [math](z_s-z)^{k_s}[/math] (здесь [math]z_s[/math] — корень кратности [math]k_s[/math]).
- Записать сумму дробей, знаменатили которых будут иметь вид [math](z_s-z)^{k_s}[/math], а числители — полиномы с неопределёнными коэффициентами, имеющие степень [math]k_s-1[/math].
- Сложить выписанные дроби и сгруппировать слагаемые в числителе по степеням [math]z[/math].
- Приравнять полученные выражения с неопределёнными коэффициентами к соответсвующим коэффициентам полинома [math]P(z)[/math], составив, таким образом, систему линейных уравнений.
- Решить систему и получить значения неопределённых коэффициентов.
- Представить получившиеся дроби в виде рядов, пользуясь таблицами производящих функций и формулами преобразования
Примеры
Пример 1
Разложить в ряд функцию
[math] G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}.[/math]
Разложим знаменатель функции на множители
[math] 1-z-z^2+z^3=(1+z)(1-z)^2,[/math]
тогда
[math]G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}=\dfrac{8+4z}{(1+z)(1-z)^2}.[/math]
Представим функцию на сумму двух дробей, причем у первой в числителе будет полином степени [math]0[/math], а у второй степени [math]1[/math]
[math]G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}=\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2},[/math]
где [math]A, B[/math] и [math]C[/math] — некоторые константы. Для того, чтобы найти эти константы, нужно сложить дроби:
[math]\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2}=\dfrac{A(1-z)^2+(Bz+C)(1+z)}{(1+z)(1-z)^2}=\dfrac{(A+B)z^2+(B+C-2A)z+(A+C)}{(1+z)(1-z)^2}=\dfrac{8+4z}{(1+z)(1-z)^2}.[/math]
Из последнего равенства, сравниваем коэффициенты при соответствующих степенях в числителе
[math]A+B=0[/math] - это коэффициент при [math]z^2[/math],
[math]B+C-2A=4[/math] - это коэффициент при [math]z^1[/math],
[math]A+C=8[/math] - это коэффициент при [math]z^0[/math].
Решая систему из трех уравнений, находим
[math]A=1[/math],
[math]B=-1[/math],
[math]C=7[/math].
Получаем
[math]
\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2} =\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{-z+7}{(1-z)^2}=\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{7}{(1-z)^2}-\dfrac{z}{(1-z)^2}.
[/math]
Эти дроби разложим в ряд, пользуясь таблицей производящих функций и формулами преобразования:
[math]\dfrac{1}{1+z}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^n [/math]
[math]\dfrac{7}{(1-z)^2}=\sum_{n=0}^\infty 7(n+1) z^n [/math]
[math]\dfrac{z}{(1-z)^2}=\sum_{n=0}^\infty n z^n .[/math]
Тогда
[math] G(z)=\sum_{n=0}^\infty (7(n+1)-n+(-1)^n)z^n=\sum_{n=0}^\infty (6n+7+(-1)^n)z^n[/math]
Или
[math]
[z^n]G(z) = 6n+7+(-1)^n, \qquad n \geqslant 0.
[/math]
Пример 2
Разложить в ряд рациональную функцию
[math]
G(z)=\dfrac{8-46z+89z^2-59z^3}{1-8z+23z^2-28z^3+12z^4}.
[/math]
Разбив знаменатель на множители, получаем:
[math]
\dfrac{8-46z+89z^2-59z^3}{1-8z+23z^2-28z^3+12z^4}=\dfrac{A}{1-z}+\dfrac{Bz+C}{(1-2z)^2}+\dfrac{D}{1-3z}.
[/math]
Приведим все дроби к общему знаменателю:
[math]
\dfrac{(-12A+3B-4D)z^3+(16A-4B+3C+8D)z^2+(-7A+B-4C-5D)z+A+C+D}{(1-z)(1-2z)^2(1-3z)}.
[/math]
Решаем систему линейных уравнений:
[math]-12A+3B-4D=-59[/math]
[math]16A-4B+3C+8D=89[/math]
[math]-7A+B-4C-5D=-46[/math]
[math]A+C+D=8[/math]
Решение этой системы:
[math]A=4, B=3, C=−1, D=5.[/math]
Это означает, что
[math]G(z)= \dfrac{4}{1-z} + \dfrac{3z}{(1-2z)^2} -\dfrac{1}{(1-2z)^2} + \dfrac{5}{1-3z}.[/math]
Теперь каждую дробь можно разложить в ряд, пользуясь таблицей:
[math]
G(z) = 4\sum_{n=0}^\infty z^n + 3\sum_{n=0}^\infty n2^{n-1}z^n-\sum_{n=0}^\infty (n+1) 2^n z^n+5\sum_{n=0}^\infty 3^n z^n.
[/math]
То есть
[math]
[z^n]G(z) = 5\cdot3^n + 3n2^{n-1} - (n+1)2^n+4= 5\cdot3^n+n2^{n-1}-2^n+4
[/math]
[math]
G(z) = 8+18z+49z^2+143z^3+425z^4+1267z^5+3777z^6+11259z^7+O(z^{8}).
[/math]
Источники информации
