Максимальное количество попарно непересекающихся остовных деревьев в графе с n вершинами
Версия от 16:04, 15 декабря 2017; 176.59.22.113 (обсуждение)
Утверждение: |
Максимальное количество попарно непересекающихся остовных деревьев в графе с вершинами равно |
|
Алгоритм
Описание алгоритма
Расположим вершины на окружности так, чтобы они образовывали правильный многоугольник, и выберем начальную вершину (рис.1). Для
вершин по часовой стрелке, начиная с этой вершины, будем строить остовные деревья. Для -ой вершины строим такой путь — до тех пор, пока не соединим все вершины. Это и будет остовным деревом. (рис.2-3)Доказательство корректности
Докажем, что построенные с помощью такого алгоритма остовные деревья будут попарно непересекающимися. Для этого докажем, что никакие ребра не совпадут. Ребра могут совпасть только в том случае, если дуги, на которые эти ребра опираются, будут одинаковой длины. Заметим, что при построении каждого последующего дерева его ребра получаются из поворотов ребер предыдущего на длину
, где — длина окружности. Рассмотрим первое построенное остовное дерево.(рис.3) В нем не более -х ребер имеют одинаковую длину дуги (длина дуги у ребра, расположенного на диаметре окружности, не совпадает с длиной дуги любого другого ребра данного остовного дерева). Значит, повороты только этих ребер могут совпасть между собой.- Докажем, что повороты ребра, расположенного на диаметре окружности, не совпадут друг с другом (если
Чтобы хоть какой-то поворот совпал, мы должны повернуть ребро на . Каждый раз мы поворачиваем ребро на . А так как мы поворачиваем ребро раз, то в сумме мы повернем его на
. А это значит, что никакие ребра не совпадут друг с другом. (рис.4)
нечетно, то такого ребра не будет). - Докажем для остальных ребер. (рис.5)
Возьмем ребро, которое не лежит на диаметре окружности. В данном остовном дереве есть ребро, которое имеет такую же длину дуги. Ориентируем данные ребра в сторону часовой стрелки. Чтобы повороты этих ребер совпали, нужно, чтобы совпали их начала и концы. Покажем, что их начала никогда не совпадут. Чтобы начало первого ребра совпало с началом второго, нужно первое ребро повернуть хотя бы на половину длины окружности, то есть на . Для этого нам нужно сделать поворотов: . Но мы делаем только поворот. Аналогично с поворотом второго ребра. Для нечетных граф будет неполным, поэтому даже поворотов может не хватить для совпадения ребер.