Эта статья находится в разработке!
Теорема Ферма о значении производной в экстремальной точке
| Определение: |
| Точка [math] x_0 [/math] называется точкой локального минимума, если [math] \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \ge f(x_0) [/math].
Точка [math] x_0 [/math] называется точкой локального максимума, если [math] \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \le f(x_0) [/math]. |
Сами значения [math] f(x_o) [/math] называются соответственно локальным минимумом и локальным максимумом.
| Теорема (Ферма): |
Пусть [math] f(x) [/math] существует и дифференцируема в [math] O(x_0) [/math], и [math] x_0 [/math] - точка локального экстремума. Тогда [math] f'(x_0) = 0.[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Рассмотрим случай, когда [math] x_0 [/math] - точка локального минимума. Случай с локальным максимумом доказывается аналогично.
[math] \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}[/math]; рассмотрим [math] \Delta x \approx 0 [/math].
Заметим, что, по определению локального минимума, [math] f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \ge 0 [/math].
Возможны 2 случая для [math] \Delta x [/math]:
1) [math] \Delta x \lt 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \le 0 \Rightarrow f'(x_0) \le 0 [/math]
2) [math] \Delta x \gt 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \ge 0 \Rightarrow f'(x_0) \ge 0 [/math]
Отсюда, [math] f'(x_0) = 0 [/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Замечание: обратная теорема не всегда верна, например, [math] y(x) = x^3, y'(0) = 0,[/math] но [math] y(0) [/math] - не экстремум.
| Определение: |
| Корень уравнения [math]f'(x) = 0[/math] называется стационарной точкой. |
Теорема Ролля о нулях производной
| Теорема (Ролль): |
Пусть [math] f(x) [/math] непрерывна на [math][a; b][/math], дифференцируема на [math](a, b)[/math] и [math]f(a) = f(b)[/math]. Тогда существует точка [math] c \in (a; b)[/math], такая, что [math] f'(c) = 0[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math] f(x) [/math] непрерывна на [math][a; b][/math], значит, у нее на этом отрезке существуют минимум и максимум. Пусть [math] x_1 [/math] - точка минимума, [math] x_2 [/math] - точка максимума.
Рассмотрим 2 случая:
1) Обе точки граничные, то есть [math] x_1, x_2 [/math] находятся на концах отрезка. Тогда, так как [math] f(a) = f(b) [/math], то [math] f_{max}[a; b] = f_{min}[a; b] [/math]. Значит, [math] f(x) [/math] на [math] [a; b] [/math] - константа, то есть [math]\forall c \in (a; b) \ f'(c) = 0[/math]
2) Хотя бы одна из точек [math] x_1, x_2 [/math] не граничная. Пусть это, например, [math] x_1 [/math]. Тогда по теореме Ферма [math] f'(x_1) = 0[/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
