Обсуждение:Метрическое пространство

Используйте шаблон для тире — {{---}} вместо "-" там, где это необходимо Rybak 04:10, 21 ноября 2010 (UTC)

Замкнутые множества

• Класс открытых множеств обозначается [math] \tau [/math]. А никто не знает, как класс закрытых обозначается? --Дмитрий Герасимов 23:59, 21 ноября 2010 (UTC)
  • Мы никак не обозначали, но можно, например, так: [math] \bar\tau [/math]

Основное характеристическое свойство замкнутых множеств

В обратную сторону печаль с доказательством. А везде в интернетах и умных книжках, наоборот, сначала говорится что замкнутое множество - то, которое содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, а потом уже доказывается что дополнение к замкнутому - открытое и наоборот. Надо, наверное, подойти к Додонову и спросить что он считает по этому поводу.

В доказательстве осталась небольшая проблема: мы говорим, что

"каждый [math] y \notin F [/math] входит в [math] G [/math] вместе с каким-то открытым шаром"

При этом [math]y[/math], вообще говоря, не обязан быть центром шара, однако далее в доказательстве это подразумевается. Лечится это очень просто, достаточно сказать, что если [math]y[/math] лежит в некотором шаре [math]V_1(x)_{r_1}[/math], то существует шар [math]V_2(y)_{r_2} \subset V_1[/math] (надо положить [math]r_2 \lt r_1 - \rho(x, y)[/math]). Возможно даже, что этот факт уже доказан в статье, но пояснить этот момент в любом случае стоит.

По поводу свойств открытых и замкнутых множеств: почему все [math] X [/math] открыто, понятно, мы можем представить его как [math] \bigcup\limits_{x \in X} V{_r}(x) (r \gt 0) [/math]. А почему пустое множество является открытым, типа, это пустое объединение? Далее, раз уж класс замкнутых множеств обладает двойственными свойствами по отношению к классу открытых, то, наверное, свойства будут выглядеть так:

Свойства замкнутых множеств

1. [math] X, \varnothing [/math] — замкнуты
2. [math]\ F_{\alpha} [/math] — замкнуто [math]\forall \alpha \in A \Rightarrow \bigcap\limits_{\alpha \in A} F_{\alpha} [/math] — замкнуто
3. [math]\ F_1 \dots F_n [/math] — замкнуты [math] \Rightarrow \bigcup\limits_{j = 1}^n F_j [/math] — замкнуто

Вроде бы все логично и напрямую следует из законов Де Моргана. В статью пока не впиливаю, потому что в конспекте на эту тему у меня какой-то бред.--Мейнстер Д. 20:43, 4 января 2011 (UTC)

Основное характеристическое свойство замкнутых множеств: Если множество F содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, то оно замкнуто. F — замкнуто, если оно содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей. А это не одно и то же?--Завадский Д. 18:16, 20 января 2011