Участник:Vlad SG

Формулировка

Пусть задана последовательность из [math]n[/math] запросов к внешней памяти. Необходимо решить для каждого запроса: сохранить его значение в кэш размера [math]k[/math] или оставить его во внешней памяти.

Основные определения

Определение:

Кэш попадание (англ. cache hit) — результат обрабатываемого запроса уже хранится в кэше и его можно вернуть мгновенно.

Определение:

Кэш промах (англ. cache miss) — результат обрабатываемого запроса отсутствует в кэше и чтобы его получить необходимо обращаться к внешней памяти. При получении ответа мы так же можем сохранить новое значение в кэш, вытеснив(удалив) некоторое старое.

Определение:

Временем работы алгоритма кэширования будем называть количество кэш промахов случившихся при обработке всех запросов.

При анализе случайных алгоритмов будем использовать матожидание количества кэш промахов при всех возможных случайных выборах, но для фиксированной последовательности запросов.

Определение:

Онлайн алгоритм (англ. on-line algorithm) — алгоритм, который при обработке запроса не знает следующих запросов.

Определение:

Оффлайн алгоритм (англ. off-line algorithm) — алгоритм, которому на вход даются все запросы сразу.

Определение:

[math]\alpha[/math]-оптимальность — свойство онлайн алгоритма, означающее что время работы этого алгоритма на любых входных данных не более чем в [math]\alpha[/math] раз больше, чем у любого оффлайнового, с точностью до аддитивной константы.

Проблема детерминированных алгоритмов

Теорема (О нижней оценке):

Любой [math]\alpha[/math]-оптимальный онлайн детерминированный алгоритм кэширования имеет [math]\alpha \geqslant k[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Обозначим [math]T_\text{opt}(\sigma)[/math] и [math]T_\text{det}(\sigma)[/math] как время работы оптимального и детерминированного алгоритма на входе [math]\sigma[/math]. По определению [math]\alpha[/math]-оптимальности имеем [math]\forall\sigma \; T_\text{det}(\sigma) \lt \alpha \cdot T_\text{opt}(\sigma) + C[/math]. Покажем, что достаточно построить для любого [math]n[/math] такую последовательность запросов [math]\sigma_n[/math], что [math]T_\text{det}(\sigma_n) \geqslant k \cdot T_\text{opt}(\sigma_n) + C_0[/math]. Так как [math]\lim\limits_{n-\gt \infty}T = \infty[/math], получаем [math]\lim\limits_{n-\gt \infty}\frac{T_\text{det}(\sigma_n)}{T_\text{opt}(\sigma_n)} \geqslant k[/math]. С другой стороны можно квантор раскрыть для значения [math]\sigma_n[/math]: [math]T_\text{det}(\sigma_n) \lt \alpha \cdot T_\text{opt}(\sigma_n) + C[/math], а потом снова перейти к пределу [math]\lim\limits_{n-\gt \infty}\frac{T_\text{det}(\sigma_n)}{T_\text{opt}(\sigma_n)} \leqslant \alpha[/math]. Перепишем неравенства в следующем виде [math]k \leqslant \lim\limits_{n-\gt \infty}\frac{T_\text{det}(\sigma_n)}{T_\text{opt}(\sigma_n)} \leqslant \alpha[/math], откуда очевидно, что [math]\alpha \geqslant k[/math]. Теперь построим [math]\sigma_n[/math]. В последовательности будем использовать только [math]k + 1[/math] различных запросов. Первыми [math]k[/math] запросами возьмём любые различные, а дальше, каждым следующим запросом поставим тот, результата которого нет в данный момент в кэше детерминированного алгоритма. Это хоть и не явное, но корректное задание последовательности, потому что имея алгоритм, мы можем вычислить каждый запрос в [math]\sigma_n[/math] на основе предыдущих. Очевидно, что [math]T_\text{det}(\sigma_n) = n[/math]. Посмотрим как на [math]\sigma_n[/math] будет работать следующий, возможно оптимальный оффлайн алгоритм (индекс mopt). Первые k элементов алгоритм добавит в кэш, так как они все различные. Когда случается промах, алгоритм среди значений в кэше и только что обработанного результата вытесняет то, которое в последующих запросах встречается первый раз как можно позже или не встречается совсем. При таком выборе, следующий кэш промах случится не менее чем через [math]k[/math] запросов. Предположим, что это не так, и кэш промах случился через [math]m \lt k[/math] запросов. Так как количество различных запросов на 1 больше размера кэша, то этот промах произошёл на запросе, который мы вытеснили из кэша в предыдущий раз. Из [math]m \lt k[/math] следует, что есть запросы, которые мы не встретили среди первых [math]m[/math], а значит их первое вхождение будет после того значения, которое мы вытеснили. Получили противоречие, а значит предположение не верно. Оценим время работы возможно оптимального оффлайн алгоритма [math]T_\text{mopt} \leqslant k + \lceil\frac{n-k}{k+1}\rceil \leqslant \frac{n}{k}[/math]. Последнее неравенство выполнено, т.к. [math]n \gg k[/math]. Очевидно [math]T_\text{opt}(\sigma_n) \leqslant T_\text{mopt}(\sigma_n)[/math], откуда [math]T_\text{opt}(\sigma_n) \leqslant \frac{n}{k}[/math] [math]T_\text{det}(\sigma_n) = n = k \cdot \frac{n}{k} \geqslant k \cdot T_\text{opt}(\sigma_n) \Rightarrow T_\text{det}(\sigma_n) \geqslant k \cdot T_\text{opt}(\sigma_n) + 0[/math] Теорема доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Вероятностный алгоритм (англ. random marking algorithm)

В данном алгоритме, у каждого элемента, хранящегося в кэше, может быть метка. Изначально меток ни на одном элементе нет.

Когда в кэш поступает запрос:

• Если кэш попадание, то просто помечаем значение.
• Если кэш промах
  1. Если все элементы уже помечены, снимаем пометки со всех значений.
  2. Берём случайное не помеченное значение и вытесняeм его, а новое значение помечаем.

Оценка времени работы алгоритма

1

Источники

• A. Fiat, R. M. Karp, M. Luby, L. A. McGeoch, D. D. Sleator, N. E. Young, Competitive Paging Algorithms, Journal of Algorithms 12, 685-699 (1991)
• Lecture notes for Brown CS251 - Randomized paging algorithms