Список заданий по теории сложности 2022

1. Докажите, что объединение, пересечение, конкатенация и замыкание Клини языков из $NP$ является языком из $NP$
2. В определении $NP$ мы говорим, что при любом недетерминированном выборе программа должна завершиться не более чем за $p(n)$, где $p$ - полином, а $n$ - длина входа. На самом деле это требование может быть ослаблено, можно требовать, чтобы программа завершалась не более чем за $p(n)$ только в случае допуска. Докажите, что в таком определении класс $NP$ не меняется.
3. $PRIMES\in NP$. Язык $PRIMES$ определяется следующим образом: это множество двоичных записей простых целых чисел. Доказательство принадлежности $PRIMES$ классу $NP$ разбито на два задания. Часть 1. Известно, что если $n$ простое, то существует $g$, такое что $g^{n-1}=1\pmod n$ и для всех $1 \le k < n - 1$ выполнено $g^k \ne 1 \pmod n$. Пусть известно разложение $n-1$ на простые множители: $n-1=q_1^{a_1}q_2^{a_2}\ldots q_k^{a_k}$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что заданное $g$ удовлетворяет описанному условию. Можно недетерминированно выбрать $g$ и недетерминированно угадать разбиение $n-1$ на простые множители. Однако это требует проверки на простоту, чтобы убедиться, что угадано разложение именно на простые множители. Завершите доказательство, что $PRIMES \in NP$, описав рекурсивную процедуру проверки и доказав, что она работает за полиномиальное время.
4. Задача останова $HALT = \{\langle m, x \rangle | m$ - детерминированная машина Тьюринга, $m(x) = 1\}$. Докажите, что $HALT$ является $NP$-трудной. Является ли она $NP$-полной?