Нормированные пространства

Эта статья находится в разработке!

Определение и примеры

Пусть [math]X[/math] — линейное пространство над полем [math]\mathbb R[/math]. Отображение [math] \varphi \colon X \to \mathbb R[/math] называется нормой, если:

• [math]\varphi(x) \ge 0[/math], [math]\varphi(x) = 0 \iff x = 0[/math] (положительная определённость)
• [math]\varphi(\alpha x) = |\alpha| \cdot \varphi(x)[/math], [math]\alpha \in \mathbb R[/math] (однородность)
• [math]\varphi(x + y) \le \varphi(x) + \varphi(y)[/math] (неравенство треугольника)

Для нормы применяют следующее обозначение: [math]\|x\| = \varphi(x)[/math].

Приведём примеры норм для различных множеств:

• [math]X = \mathbb R[/math], [math]\|x\| = |x|[/math].
• [math]X = \mathbb R^n[/math], [math]\|\overline x\| = \sqrt{ \sum\limits_{k = 1}^n x_k^2 }[/math]. Неравенство треугольника для нормы — неравенство Коши для сумм. Эта норма называется евклидовской нормой на [math]\mathbb R^n[/math].
• На [math]\mathbb R^n[/math] можно определить также другие нормы, например [math]\|\overline x\|_1 = \sum\limits_{k = 1}^n |x_k|[/math] или [math]\|\overline x\|_2 = \max \{\,|x_1|, |x_2|, \dots, |x_k|\,\}[/math].
• [math]X = C[0; 1][/math] — функции, непрерывные на [math][0; 1][/math], [math]\|x\| = \max\limits_{t \in [0; 1]} |x(t)|[/math].
• [math]X = \widetilde{L_1}[0; 1][/math] — функции [math]f \colon [0; 1] \to \mathbb R[/math], для которых [math]\int\limits_0^1 |f| \lt +\infty[/math] (например, [math]f(t) = \frac 1{\sqrt t} \in \widetilde{L_1}[0; 1][/math]), [math]\|f\| = \int\limits_0^1 |f|[/math].

Нормированным пространством называют пару [math](X, \|\cdot\|)[/math] из линейного пространства и нормы на нём.

Легко проверить, что функция [math]\rho(x, y) = \|x - y\|[/math] — метрика, а, значит, нормированные пространства можно рассматривать как частный случай метрических пространств. Это значит, что на нормированные пространства легко переносятся понятия компакта, непрерывности, предела, и так далее.

Арифметика пределов

Специфика нормированных пространств — структура линейного пространства на рассматриваемом множестве. То есть, точки пространства можно складывать и умножать на числа, и эти операции будут непрерывными по норме пространства.

Утверждение:

Пусть [math]x_n[/math], [math]y_n[/math] — последовательности точек нормированного пространства [math](X, \|\cdot\|)[/math], а [math]\alpha_n[/math] — вещественная последовательность. Известно, что [math]x_n \rightarrow x[/math], [math]y_n \rightarrow y[/math], [math]\alpha_n \rightarrow \alpha[/math]. Тогда: [math]x_n + y_n \rightarrow x + y[/math] [math]\alpha_n x_n \rightarrow \alpha x[/math] [math]\|x_n\| \rightarrow \|x\|[/math]

[math]\triangleright[/math]

Докажем первый пункт. По определению предела в метрических пространствах, [math]x_n \rightarrow x \iff \|x_n - x\| \rightarrow 0[/math]. [math]\|(x_n + y_n) - (x + y)\| = \|(x_n - x) + (y_n - y)\| \le \|x_n - x\| + \|y_n - y\| \rightarrow 0[/math] по арифметике числовых пределов. Но, поскольку [math]\|(x_n + y_n) - (x + y)\| \ge 0[/math] по определению нормы, то по принципу сжатой переменной [math]x_n + y_n \rightarrow x + y[/math]. Второй и третий пункты доказываются аналогично.

[math]\triangleleft[/math]

Следует иметь ввиду, что метрическое пространство, наделённое структурой линейного, не обязательно можно нормировать (задать норму такую, что сходимость по метрике будет аналогично сходимости по метрике).

Например таково множество всех вещественных последовательностей [math]\mathbb R^{\infty}[/math] с метрикой [math]\rho(x, y) = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}[/math]. Оказывается, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.

Банаховы пространства

Важную роль играют банаховы пространства (содержат перенос понятия полноты на случай нормированных пространств). Также банаховы пространства называют B-пространствами, далее в тексте обозначаются именно так.

Определение:

Нормированное пространство [math](X, \|\cdot\|)[/math] называется B-пространством, если для любой последовательности элементов [math]X[/math], для которых из [math]\|x_n - x_m\| \to 0[/math] при [math]n, m \to \infty[/math] вытекает существование предела последовательности.

Рассмотренные ранее пространства [math]\mathbb R[/math], [math]C[0; 1][/math] являются B-пространствами, [math]\widetilde{L_1}[0; 1][/math] B-пространством не является. Доказательства полноты [math]\mathbb R^n[/math] и [math]C[0; 1][/math] будут даны далее.

В нормированных пространствах определение предела записывается аналогично пределу вещественной последовательности, отличаясь лишь заменой знака модуля на знак нормы.

Например, если [math]E \subset X[/math], [math]a[/math] — предельная точка множества [math]E[/math], [math]f \colon E \to Y[/math] (где [math]X[/math] и [math]Y[/math] — нормированные пространства), то [math]A[/math] называется пределом функции [math]f[/math] при [math]x \rightarrow a[/math] и обозначается [math]\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)[/math], если для любого положительного [math]\varepsilon[/math] найдётся [math]\delta \gt 0[/math], для которого выполняется следствие [math]0 \lt \|x - a\| \lt \delta \Rightarrow \|f(x) - A\| \lt \varepsilon[/math].

Также в нормированных пространствах можно рассматривать ряды, понимая под рядом, например, предел частичных сумм. Другие методы суммирования также можно перенести на нормированные пространства (метод средних арифметических или метод Абеля).

Ряд из норм в нормированных пространствах — аналог ряда из модулей для понятия абсолютной сходимости.

Утверждение:

Пусть [math](X, \|\cdot\|)[/math] — B-пространство, в котором ряд из норм сходится. Тогда сам ряд также сходится.

[math]\triangleright[/math]

[math]\left \| \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k \right \| \le \sum\limits_{k = n}^{n + p} \|x_k\|[/math]. По критерию Коши сходимости числовых рядов, правая часть стремится к нулю. Значит, [math]\|S_{n + p} - S_{n - 1}\| \rightarrow 0[/math]. В силу полноты пространства существует предел последовательности частичных сумм (так как последовательность частичных сумм сходится в себе). Заодно получаем оценку на норму суммы такого ряда: [math]\left \| \sum\limits_{k = 1}^\infty x_k \right \| \le \sum\limits_{k = 1}^\infty \| x_k \|[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Гильбертовы пространства

Среди нормированных пространств выделяется подкласс так называемых гильбертовых пространств.

Пусть [math]H[/math] — линейное пространство. Величина [math](x, y) \in \mathbb R[/math] называется скалярным произведением точек множества [math]H[/math], если она удовлетворяет следующим трём аксиомам:

1. [math](x, x) \ge 0[/math], [math](x, x) = 0 \iff x = 0[/math]
2. [math](x, y) = (y, x)[/math]
3. [math](\alpha x + \beta y, z) = \alpha(x, z) + \beta(y, z)[/math]

Основное значение для скалярного произведения имеет неравенство Шварца:

Утверждение:

[math]|(x, y)| \le \sqrt{(x, x)}\sqrt{(y, y)}[/math]

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим следующую функцию: [math]f(\lambda) = (\lambda x + y, \lambda x + y)[/math]. По аксиомам скалярного произведения [math]f(\lambda) \ge 0[/math]. Но [math]f(\lambda) = (x, x)\lambda^2 + 2(x, y)\lambda + (y, y)[/math]. Из неотрицательности квадратного трёхчлена вытекает, что его дискриминант не должен быть положительным. Но дискриминант [math]D[/math] равен [math]4(x, y)^2 - 4(x, x)(y, y)[/math], и из неравенства [math]D \le 0[/math] мнгновенно вытекает доказываемое.

[math]\triangleleft[/math]

Базируясь на этом неравенстве, определим норму [math]\|x\| = \sqrt{(x, x)}[/math].

Первые два свойства, очевидно, выполняются. Проверим, что этот функционал удовлетворяет неравенству треугольника:

[math]\|x + y\|^2 = (x + y, x + y) = \|x\|^2 + 2(x, y) + \|y\|^2 \le (\|x\| + \|y\|)^2[/math].

Последний переход в неравенстве выполнен именно благодаря неравенству Шварца.

Доказанное неравенство треугольника превращает [math]H[/math] в нормированное пространство. Если оно является B-пространством, то его называют гильбертовым пространством.

Имеются две классических модели таких пространств. Первое из них — это [math]\mathbb R^n[/math] со скалярным произведением [math](\overline x, \overline y) = \sum\limits_{i = 1}^n x_i y_i[/math] и нормой [math] ||\overline x|| = \sqrt{(\overline x, \overline x)} = \sqrt{\sum\limits_{i = 1}^n x_i^2} [/math] . Видно, что норма по скалярному произведению совпадает с евклидовой нормой (а само пространство — с евклидовым). Осталось только доказать, что представленное пространство является полным.

Полнота евклидова пространства

Утверждение (покоординатная сходимость в [math]\mathbb R^n[/math]):

Пусть дана последовательность [math]\overline x^{(m)} \in \mathbb R^n[/math]. Тогда [math]\overline x^{(m)} \rightarrow \overline x[/math] в [math]\mathbb R^n[/math] тогда и только тогда, когда для любого [math]j \in 1,\dots,n[/math] последовательность [math]\overline x_j^{(m)} \rightarrow \overline x_j[/math]

[math]\triangleright[/math]

[math] \Longrightarrow [/math]: Если последовательность сходится, то из неравенства [math]|x_j^{(m)} - x_j| \le \|x^{(m)} - x\|[/math] устанавливается, что последовательность сходится и покоординатно. [math] \Longleftarrow [/math]: Пусть для любого [math]j[/math] выполняется [math]x_j^{(m)} \rightarrow x_j[/math]. Из определения предела, для любого [math]\varepsilon[/math] существует [math]M_j[/math], для которого [math]|x_j^{(m)} - x_j| \le \varepsilon / \sqrt n[/math]. Тогда для [math]m \gt M = M_1 + \dots + M_n[/math] написанное выше неравенство выполняется для всех [math]j[/math]. [math]\|\overline x^{(m)} - \overline x\| = \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n |x_j^{(m)} - x_j|^2} \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n \frac{\varepsilon^2}n} = \sqrt{n \frac{\varepsilon^2}n} = \varepsilon[/math], следовательно, утверждение доказано по определению предела.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пространство [math]\mathbb R^n[/math] с евклидовой нормой является B-пространством.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Надо установить, что из сходимости в себе следует существование предела по норме [math]\mathbb R^n[/math]. Если [math]\|\overline x^{(m)} - \overline x^{(p)}\| \rightarrow 0[/math], то для любого [math]j[/math] выполняется [math]|x_j^{(m)} - x_j^{(p)}| \rightarrow 0[/math]. По критерию Коши для числовых последовательностей из этого следует, что каждая из последовательностей [math]x_j^{(m)}[/math] имеет предел, то есть, последовательность точек сходится покоординатно. Но по доказанному ранее утверждению из покоординатной сходимости следует сходимость по норме, что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

Пространство последовательностей

Второй классический пример гильбертовых пространств был предложен самим Гильбертом.

Пространство последовательностей [math]\ell^2[/math] определяется как пространство вещественных последовательностей, для которых сходится ряд из квадратов их членов, скалярное произведение на нем определяется как [math] (x; y) = \sum\limits_{j = 1}^\infty x_jy_j [/math].

Теорема:

[math]\ell^2[/math] — гильбертово пространство.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для начала установим, что [math](x, y) = \sum\limits_{j = 1}^\infty x_j y_j[/math] имеет конечные значения (когда [math]x[/math], [math]y[/math] — элементы [math]\ell^2[/math]). По свойствам рядов достаточно доказывать сходимость ряда из модулей. По неравенству Шварца для [math]\mathbb R^n[/math] (где [math]n[/math] — произвольно): [math]\sum\limits_{j = 1}^n |x_j| \cdot |y_j| \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n x_j^2} \cdot \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n y_j^2}[/math]. [math]\sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n x_j^2} \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^\infty x_j^2}[/math], следовательно, частичные суммы рассматриваемого ряда ограничены некоторой константой. Но, так как ряд положительный, то он сходится. Далее, требуется проверить корректность алгебраических операций. Если [math]x \in \ell^2[/math], то, очевидно, [math]\alpha x \in \ell^2[/math] (постоянный множитель [math]\alpha^2[/math] выносится из под знака суммирования). Требуется также проверить, что при [math]y \in \ell^2[/math] следует, что [math](x + y) \in \ell^2[/math]. То есть, нужно подтвердить сходимость ряда [math]\sum\limits_{j = 1}^\infty (x_j + y_j)^2[/math]. Требуемое следует из очевидно верного неравенства [math](a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2)[/math]: [math]\sum\limits_{j = 1}^\infty (x_j + y_j)^2 \le 2 \left ( \sum\limits_{j = 1}^\infty x_j^2 + \sum\limits_{j = 1}^\infty y_j^2 \right ) \lt +\infty[/math] Итого, [math]\ell^2[/math] — линейное пространство с определённым выше скалярным произведением и нормой [math]\|x\| = \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^\infty x_j^2}[/math]. Осталось доказать полноту. Для любого [math]j[/math] можно записать: [math]|x_j^{(m)} - x_j^{(p)}| \le \|x^{(m)} - x^{(p)}\|^2 \rightarrow 0[/math] при [math]m, p \rightarrow \infty[/math]. Всякая последовательность координат сходится к некоторому числу, следовательно фундаментальная последовательность последовательностей покоординатно сходится к некоторой последовательности. Убедимся, что эта последовательность принадлежит [math]\ell^2[/math] и является пределом [math]x^{(m)}[/math] по норме. Напишем неравенство: [math]\sum\limits_{j = 1}^n (x_j^{(m)} - x_j^{(p)})^2 \le \|x^{(m)} - x^{(p)}\|^2[/math] — верно для любого [math]n[/math]. В силу сходимости в себе последовательности [math]x^{(m)}[/math], для любого [math]\varepsilon[/math] подбираем [math]M[/math], что при [math]m, p \gt M[/math] имеем [math]\|x^{(m)} - x^{(p)}\|^2 \le \varepsilon^2[/math]. Считая такими [math]m[/math] и [math]p[/math] в предыдущем неравенстве, приходим к оценке: [math]\sum\limits_{j = 1}^n (x_j^{(m)} - x_j^{(p)})^2 \le \varepsilon^2[/math] для любого [math]n[/math] и [math]m, p \gt M[/math]. В сумме стоит конечное число слагаемых, и при каждом [math]n[/math] можно перейти к пределу при [math]p \rightarrow \infty[/math]: [math]\sum\limits_{j = 1}^n (x_j^{(m)} - x_j)^2 \le \varepsilon^2[/math]. Далее, переходя к пределу при [math]n \rightarrow \infty[/math], получаем: [math]\sum\limits_{j = 1}^\infty (x_j^{(m)} - x_j)^2 \le \varepsilon^2 \quad (*)[/math] По определению [math]\ell^2[/math] точка [math](x^{(m)} - x) \in \ell^2[/math]. Но [math]x = x^{(m)} - (x^{(m)} - x)[/math], [math] x^{(m)} \in \ell^2 [/math] по условию, а [math] x^{(m)} - x \in \ell^2[/math], начиная с некоторого [math]m \gt M[/math], значит, из доказанной ранее алгебраической замкнутости [math]\ell^2[/math] следует, что [math]x \in \ell^2[/math]. Теперь можно записать неравенство [math](*)[/math] как [math]\|x^{(m)} - x\| \le \varepsilon[/math]. Поскольку неравенство верно для любого [math]m \gt M[/math], то точка [math]x[/math] является пределом последовательности [math]x^{(m)}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Придерживаясь идеологии представленного доказательства, можно доказать полноту [math]C[a; b][/math], пользуясь неравенством:

[math] |x_{n + p}(t) - x_n(t)| \le \max_{s \in [a; b]} |x_{n + p}(s) - x_n(s)| = \| x_{n + p} - x_n \| [/math]

Пространство Гильберта имеет важное понятие ортонормированной системы точек:

Определение:

Пусть дана система точек [math] l_1, \dots, l_n \in H [/math]. Она называется ортонормированной(ОНС), если: [math] \| l_n \| = 1 [/math] [math]\forall n, m: n \ne m: l_n \bot l_m [/math], то есть [math] (l_n, l_m) = 0[/math].

Ортонормированная система точек [math] \{l_n, n \in N \} [/math] линейно независима в [math] R^n, \ell^2 [/math].

В [math] \mathbb{R}^n [/math], в котором система размера [math] n + 1 [/math] - линейно зависима, ОНС может состоять из n точек.

[math] l_n = (\underbrace{0, \dots, 0}_n, 1, \dots) [/math] - ОНС, в этом смысле [math] l_2 [/math] - бесконечномерно.

Заметим, что, если взять [math] n \ne m [/math] и составить норму разности [math] \| l_n - l_m \|^2 = 2 [/math]:

[math] \overline{V}_{10}(o) = \{ x \in l_2: \| x \| \le 10 \} [/math], все [math] l_n [/math] принадлежат этому шару. Но в силу того, что [math] \| l_n - l_m \| \le \sqrt2 [/math], то из такой последовательности невозможно выделить сходящуюся и такой шар некомпактен в [math] \ell^2 [/math].

Один шар можно получить сдвигом и параллельным переносом из другого, значит, любой шар в [math] \ell^2 [/math] - некомпактен.

В [math] \mathbb{R}^n [/math] - любой шар компактен, так как его можно погрузить в компактный параллелепипед(по т. Хаусдорфа).

Остутсвие в [math] \ell^2 [/math] компактности шаров - принциальное отличие бесконечномерной ситуации.

Из шара можно высверлить бесконечно много дырок одинакового радиуса( [math]R = \frac{\sqrt2}{10} [/math]) и он не развалится.

КАРТИНОЧКА никому не нужна, вы ведь не хотите загреметь в сумашедший дом из-за попытки представить высверливание дырок в бесконечномерном шаре? Вот и славненько.

Определение:

Ряд [math] \sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k [/math] является ортогональным, если [math] \forall n \ne m \Rightarrow (e_n, e_m) = 0 [/math].

В частности, так как [math] l_1, \dots, l_n, \dots [/math] - ОНС в [math] H [/math](гильбертово), то [math] \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k e_k [/math] — ортогональный ряд.

Теорема:

[math]\sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k [/math] - сходящийся ортогональный ряд [math] \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 \lt + \infty [/math]. При этом, если x - сумма ряда, то выполняется теорема Пифагора: [math] \| x \|^2 = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \delta_n = \sum\limits_{k = 1}^n x_k [/math]. Замечаем, что: [math] { \left \| \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k \right \| } ^2 = \left( \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k, \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k \right) = \sum\limits_{k = n}^{n + p} \| x_k \|^2 [/math]. Отсюда, если ряд сходится, то [math] \sum\limits_{k = n}^{n + p} x_k \to 0 [/math], а по последней формуле, к нулю начнут стремиться [math] \sum\limits_{k = n}^{n + p} \| x_k \|^2 [/math], и по критерию Коши ряд сходится. В обратную сторону - очевидно по банаховости пространства. Теорема Пифагора получается предельным переходом равенства.

[math]\triangleleft[/math]

Применим теорему к ортогональному ряду из ОНС:

[math] \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k e_k, \ \| \alpha_k e_k \|^2 = \alpha_k. \ \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k^2 \lt + \infty [/math]

Возникает вопрос: всегда ли сходится описанный числовой ряд? Для ответа, как обычно, введем новые теоретические построения.

Определение:

Пусть [math] l_1, \dots, l_n, \dots [/math] - ОНС в [math] H [/math], [math] x \in H[/math], тогда [math]\sigma (x) \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x; l_k)\cdot l_k[/math] — ряд Фурье точки [math] x [/math]. При этом [math] (x; l_k) [/math] называются коэффициентами этой точки.

Если [math] \sum \limits_{k=1}^{\infty} \alpha_k l_k [/math] сходится к [math] x [/math], то, учитывая непрерывность скалярного произведения, получаем:

[math] (x; l_n) = \sum \limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k (l_k; l_n) [/math] = [math] \sum \limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k \delta_{k, n} = \alpha_n [/math].

Значит, если написанный ортогональный ряд сходится, то он будет рядом Фурье своей суммы. Убедимся, что любой ряд Фурье сходится, однако не всегда к той же точке [math] x [/math], для которой он построен. Этот факт базируется на следующем неравенстве:

Теорема (Бессель):

[math] \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x; l_k)^2 \le \|x\|^2[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для некоторого набора коэффициентов [math] \beta_k [/math] рассмотрим скалярное произведение [math] x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k l_k [/math]: [math] 0 \le (x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k l_k; x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k l_k) = \|x\|^2 - 2\sum \limits_{k=1}^n \beta_k (x; l_k) + \sum \limits_{k=1}^n \beta_k^2 = [/math] [math] = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k^2 - 2(x; l_k)\beta_k) = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k - (x; l_k))^2 - \sum \limits_{k=1}^n(x; l_k)^2 [/math]. Теперь, пусть [math] \beta_k = (x; l_k) [/math], имеем [math] 0 \le \|x\|^2 - \sum \limits_{k=1}^n (x; l_k)^2 [/math], устремив [math] n [/math] к бесконечности, получим требуемое.

[math]\triangleleft[/math]

TODO: Установите, кто-нибудь, требуемый факт, у меня дальше ничего нет.