Алгоритм построения базы в объединении матроидов

Определение:

Объединение матроидов [math]M[/math] = [math]\langle S,J \rangle[/math] = [math]\cup _{k=1}^{n}[/math] [math]M_i[/math], где [math]M_i[/math] = [math]\langle S,J_i \rangle[/math]

Определение:

Для каждого [math]M_i[/math] построим двудольный ориентированный граф [math]D_{M_i}(I_i)[/math], такой что в левой доле находятся вершины из [math]I_i[/math], а в правой - вершины из [math]S_i \setminus I_i[/math]. Построим ориентированные ребра из [math]y \in I_i[/math] в [math]x \in S_i \setminus I_i[/math], при условии, что [math]I_i - y + x \in J_i[/math].

Объединим все [math]D_{M_i}(I_i)[/math] в один граф [math]D[/math], который будет суперпозицией ребер из этих графов.

Определение:

[math]F_i[/math] = { [math]x \in S_i \setminus I_i[/math] : [math]I_i + x \in J_i [/math]}. [math]F[/math] = [math]\cup _{k=1}^{n}[/math] [math]F_i[/math]

Теорема:

Для любого [math]s \in S \setminus I[/math] имеем [math]I + x \in J_i \Leftrightarrow [/math] существует ориентированный путь из [math]F[/math] в [math]s[/math] по ребрам [math]D[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Leftarrow[/math] Пусть существует путь из [math]F[/math] в [math]s[/math] и [math]P[/math] - самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {[math]s_0, s_1, ... s_p[/math]}. [math]s_0 \in F[/math], так что не умаляя общности можно сказать, что [math]s_0 \in F_1[/math]. Для каждого [math]j = 1...k[/math] определим множество вершин [math]S_j =[/math] {[math]s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)[/math]}, где [math]i[/math] пробегает от [math]0[/math] до [math]p - 1[/math]. Положим, что [math]I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}[/math], для всех [math]j \gt 1[/math] положим [math]I'_j = (I_j \oplus S_j)[/math]. Ясно, что [math]\cup _j I'_j = I + s[/math]. Для того, чтобы показать независимость [math]I + s[/math] в объединении матроидов нужно показать, что [math]I'_j \in J_j[/math] для всех [math]j[/math]. Заметим, что так как мы выбирали путь [math]P[/math] таким, что он будет наименьшим, для каждого [math]j \gt 1[/math] существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать [math]I'_j = I_j \oplus S_j[/math]. Так как паросочетание единственно, [math]I'_j \in J_j[/math]. Аналогично [math]s_0 \in F_1[/math], значит [math]I'_1 \in J_1[/math]. Следовательно [math]I + s[/math] независимо в объединении матроидов. [math]\Rightarrow[/math] Пусть нет пути из F в s по ребрам D. Тогда пусть существует множество T, состоящее из вершин D, из которого мы можем достичь s : T = {x, [math]\exists x \leadsto s[/math]} по допущению F\cap T = .

[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм

Нам известно, что объединение матроидов - матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. В нем трудность может представлять шаг поиска нового элемента не из текущего множества, который оставит текущее множество независимым. Здесь мы обозначили текущее множество как [math]I[/math]. Тогда нужно найти такой элемент [math]s \in S \setminus I[/math], что [math]I + s[/math] - снова независимо. Все наши кандидаты находятся в [math]S \setminus I[/math]. Если мы найдем путь из [math]F[/math] в [math]S \setminus I[/math], то элемент [math]s[/math], которым путь закончился, можно будет добавить в [math]I[/math]. То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового [math]D[/math] и поиске такого пути.

Источник

Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13