Теорема о существовании простого пути в случае существования пути

Определение:

Простой (вершинно-простой) путь между двумя вершинами графа — путь между ними, в котором каждая из вершин графа встречается не более одного раза.

Определение:

Длина пути — количество рёбер, входящих в последовательность, задающую этот путь.

Теорема:

Если между двумя вершинами графа существует путь, то между ними существует простой путь.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказательство построением Возьмём любой из существующих путей между нужными нам вершинами: [math]v_0e_1v_1e_2v_2 ... e_nv_n[/math]. Алгоритм: 1. Для вершины [math]v_i[/math] найдём момент её последнего вхождения в путь — [math]v_j[/math]. 2. Удалим отрезок пути от [math]e_{i+1}[/math] до [math]v_j[/math], включительно. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём от [math]v_0[/math] до [math]v_n[/math], и в нём вершина [math]v_i[/math] будет содержаться ровно один раз. Начнём процесс с вершины [math]v_0[/math] и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет простым. Альтернативное Выберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины. Предположение: Пусть он не простой. Тогда в нём содержатся две одинаковые вершины [math]v_i = v_j[/math], [math]i \lt j[/math]. Удалим из исходного пути отрезок от [math]e_{i+1}[/math] до [math]v_j[/math], включительно. Конечная последовательность также будет путём от [math]v_0[/math] до [math]v_n[/math] и станет короче исходной. Получено противоречие с условием: взятый нами путь оказался не кратчайшим. Значит, предположение неверно, выбранный путь — простой.

[math]\triangleleft[/math]

Замечания

• Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, данная теорема справедлива и для рёберно-простого пути.
• Теорема может быть сформулирована как для ориентированного, так и для неориентированного графа.

См. также

• Основные определения теории графов
• Теорема о существовании простого цикла в случае существования цикла