Предикат "левый поворот"

Допустим нам дана задача: Даны два отрезка AB и CD (они могут вырождаться в точки). Требуется проверить, пересекаются они на плоскости или нет. Для упрощения определения этого факта в вычислительной геометрии используется предикат "левый поворот" (или "по часовой стрелке").

Итак, у нас есть задача, с чего начнем её решать?

Какие вообще могут быть расположения точек и самих отрезков относительно друг друга?

Одно из решений - определить, лежат ли точки концов отрезков по разные стороны от другого отрезка. Вот тут нам и поможет наш предикат, где два из трех аргументов (например a и b) это точки концов одного отрезка, а последний - один из концов другого отрезка.

Определение:

[math] $$ Left\_Turn(a, b, c) =\left\{ \begin{array}{rl} 1 &\mbox{, for}\ (b - a)\times(c - a) \lt 0\\ 0 &\mbox{, for}\ (b - a)\times(c - a) = 0\\ 2 &\mbox{, for}\ (b - a)\times(c - a) \gt 0 \end{array} \right. $$ [/math]

Распишем поподробнее: [math](b - a)\times(c - a) = (b_x - a_x)\cdot(c_y - a_y) - (b_y - a_y)\cdot(c_x - a_x) = A - B[/math]

Какие при этом у нас будут погрешности? Нам нужно точно определить знак нашего выражения. Будем использовать для его вычисления "интервальную арифметику". Все исходные переменные, входящие в него, будут вырожденными интервалами. Из-за погрешностей, возникающих при округлении вещественных чисел, истинные значения операций нам неизвестны, но они обязательно будет содержаться в посчитанных интервалах. Допустим, что все числа положительные и будем писать без модулей:

NB: при сложении складываются абс. погрешности,при умножении складываются отн. погрешности.

[math] \delta (b - a)\times(c - a) = A \cdot \epsilon \cdot (\frac{(b_x + a_x)}{(b_x \cdot a_x)} + \frac{(c_y + a_y)}{(c_y \cdot a_y)}) + B \cdot \epsilon \cdot (\frac{(b_y + a_y)}{(b_y \cdot a_y)} + \frac{(c_x + a_x)}{(c_x \cdot a_x)})[/math]

Заметим, что все координаты (а значит и наши вычисления) производятся в вещественных числах, а это значит, что при вычислениях мы можем допустить ошибку. Какую? Посмотрим внимательнее на наш предикат. Ошибка раскрывается тогда, когда угол между отрезками АВ и АС крайне мал.

Ещё следует обратить внимание на граничные случаи, когда какие-то точки попадают на саму прямую. При этом возникает единственный особый случай, когда вышеописанные проверки ничего не дадут — случай, когда оба отрезка лежат на одной прямой. Этот случай надо рассмотреть отдельно. Для этого достаточно проверить, что проекции этих двух отрезков на оси X и Y пересекаются (часто эту проверку называют "проверкой на bounding box").