Расстояние Хэмминга
Расстояние Хэмминга — число позиций, в которых соответствующие цифры двух двоичных слов одинаковой длины различны. В более общем случае расстояние Хэмминга применяется для строк одинаковой длины любых k-ичных алфавитов и служит метрикой различия (функцией, определяющей расстояние в метрическом пространстве) объектов одинаковой размерности.
Пример
Свойства
Расстояние Хэмминга обладает свойствами метрики, удовлетворяя следующим условиям:
1)
2)
Объект x удален от объекта y так же, как объект y удален от объекта x.
3)
Третье свойство говорит, что дорога через третий объект с всегда длиннее, нежели прямой путь. Его обычно называют неравенством треугольника за его естественную геометрическую аналогию: сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны.
Доказательство: Пусть слова x и y отличаются в некоторой позиции t. Тогда какое бы слово z мы ни взяли, оно в этой позиции будет отличаться по крайней мере от одного из слов x и y. Следовательно, суммируя в правой части и , мы обязательно учтем все позиции, в которых различались слова x и y.
Математики договорились любую функцию, обладающую указанными тремя свойствами, называть расстоянием.
