Дерево, эквивалентные определения

Материал из Викиконспекты
Версия от 20:49, 24 ноября 2011; 192.168.0.2 (обсуждение) (Определения)
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Дерево — связный ациклический граф.


Определение:
Лес — граф, являющийся набором непересекающихся деревьев.

Определения

Для графа G эвивалентны следущие утверждения:

  1. G - дерево
  2. Любые две вершины графа G соединены единственным простым путем
  3. G - связен, [math] p = q + 1 [/math], где [math]p[/math] - количество вершин, а [math]q[/math] количество ребер
  4. G - ацикличен, [math] p = q + 1 [/math], где [math]p[/math] - количество вершин, а [math]q[/math] количество ребер
  5. G - ацикличен, при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется цикл
  6. G - связный граф, отличный от [math] K_p [/math] для [math] p \gt = 3 [/math], при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется цикл
  7. G - граф, отличный от [math] K_3 \cup K_1 [/math] и [math] K_3 \cup K_2 [/math], количество вершин [math]n[/math], а ребер [math]n - 1[/math], при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется цикл

Доказательство эквивалентности

  • [math] 1 \Rightarrow 2 [/math] Граф связен, значит любые две вершнины соединены путем, ацикличен, значит путь единственен, а так же прост, так как никакой путь не может зайти в одну вершину два раза, потому что это противоречит ацикличности.
  • [math] 2 \Rightarrow 3 [/math] Очевидно, граф связен. Докажем по индукции, соотношение [math]p = q + 1[/math]
  • [math] 3 \Rightarrow 4 [/math]

Литература

  • Харари Фрэнк Теория графов = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6
  • Википедия — свободная энциклопедия