Коды Прюфера.
Кодирование Прюфера переводит помеченные деревья порядка [math]n[/math] в последовательность чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math] по алгоритму:
Пока количество вершин больше одной {
1. Выбирается лист [math]v[/math] с минимальным номером.
2. В код Прюфера добавляется номер вершины, смежной с [math]v[/math].
3. Вершина [math]v[/math] и инцидентное ей ребро удаляются из дерева.
}
Полученная последовательность называется кодом Прюфера для заданного дерева.
| Лемма: |
Номер вершины [math]v[/math] встречается в коде Прюфера тогда и только тогда, когда [math]v[/math] не является листом или [math]v[/math] имеет номер [math]n[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
- Вершина с номером [math]n[/math] не может быть удалена, следовательно на последнем шаге у неё была смежная вершина, и число [math]n[/math] встретилось в коде.
- Если вершина не является листом, то у неё на некотором шаге была смежная вершина - лист, следовательно номер этой вершины встречается в коде.
- Если вершина является листом с номером меньше [math]n[/math], то она была удалена до того, как был удален ее сосед, следовательно ее номер не встречается в коде.
Таким образом, номера всех вершин, не являющихся листьями или имеющих номер [math]n[/math], встречаются в коде Прюфера, а остальные - нет. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Лемма: |
По любой последовательности длиной [math]n - 2[/math] из чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math] можно построить помеченное дерево,
для которого эта последовательность является кодом Прюфера. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Доказательство проведем по индукции.
База. [math]n = 1[/math] - верно.
Переход от [math]n[/math] к [math]n + 1[/math].
Пусть у нас есть последовательность: [math]A = [a_1, a_2, ..., a_{n - 2}].[/math]
Выберем минимальное число [math]v[/math] не лежащее в [math]A[/math]. По предыдущей лемме [math]v[/math] - вершина, которую мы удалили первой. Соединим [math]v[/math] и [math]a_1[/math] ребром. Выкинем из последовательности [math]A[/math] число [math]a_1[/math]. Перенумеруем вершины, для всех [math]a_i \gt v[/math] заменим [math]a_i[/math] на [math]a_i - 1[/math]. А теперь мы можем применить предположение индукции. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Теорема: |
Кодирование Прюфера задаёт биекцию между множествами помеченных деревьев порядка [math]n[/math] и последовательностями длиной [math]n - 2[/math] из чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
- Каждому помеченному дереву приведенный алгоритм сопоставляет последовательность.
- Каждой последовательности, как следует из предыдущей леммы, соотвествует помеченное дерево.
|
| [math]\triangleleft[/math] |
Следствием из этой теоремы является формула Кэли.
Источники
Представление с помощью списка ребер и кода Прюфера
