Коды Грея для перестановок

<wikitex>

Определения

Определение:

Коды Грея для перестановок — упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией. Элементарная транспозиция — транспозиция двух соседних элементов. Далее будем называть элементарную транспозицию просто транспозицией.

Примеры кодов Грея для перестановок

n = 2	n = 3
{1, 2}	{1, 2, 3}
{2, 1}	{1, 3, 2}
	{3, 1, 2}
	{3, 2, 1}
	{2, 3, 1}
	{2, 1, 3}

Построение кода Грея для перестановок

Будем строить код Грея для длины $n = k$. Предположим, что нам известен код Грея для перестановок длиной $n = k - 1$. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Пусть она выглядит так:

{a₁, a₂, a₃, ..., a_k-1} ,где $a_{i}$ при $i = 1, 2, 3, ..., k$ — элементы перестановки.

Элемент $a_{k}$ запишем в начало этой перестановки:

{a_k, a₁, a₂, a₃, ..., a_{k - 1}}

Будем "двигать" этот элемент $a_{k}$ вправо, меняя его с соседним(жирным выделены элементы, которые поменялись):

• {a_k, a₁, a₂, a₃, ..., a_{k - 1}} (1)

• {a₁, a_k, a₂, a₃, ..., a_{k - 1}} (2)

• {a₁, a₂, a_k, a₃, ..., a_{k - 1}}

• {a₁, a₂, a₃, a_k, ..., a_{k - 1}}

• $..........................$

• {a₁, a₂, a₃, ..., a_k, a_{k - 1}}

• {a₁, a₂, a₃, ..., a_{k - 1}, a_k} (3)

Получим $k$ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Возьмем следующую строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, которая будет выглядеть так (т.к. мы получили, что элемент стоящий на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо см. (1), (2), то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторым):

{a₂, a₁, a₃, ..., a_{k - 1}}

Элемент $a_{k}$ записываем в конец и начинаем "двигать" влево, меняя его с правостоящим:

• {a₂, a₁, a₃, ..., a_{k - 1}, a_k} (4)
• {a₂, a₁, a₃, ..., a_k, a_{k - 1}}
• ..........................
• {a₂, a₁, a₃, a_k, ..., a_{k - 1}}
• {a₂, a₁, a_k, a₃, ..., a_{k - 1}}
• {a₂, a_k, a₁, a₃, ..., a_{k - 1}}
• {a_k, a₂, a₁, a₃, ..., a_{k - 1}}

Опять получили $k$ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Далее берем третью строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, записываем в ее начало элемент $a_{k}$ и двигаем его вправо, как для первой перестановки и т.д.

Для каждой перестановки длиной $n = k - 1$ (всего их $(k - 1)!$) мы получили $k$ новых перестановок. Итого $k\cdot(k - 1)! = k!$ перестановок. Все они различны, т.к. для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент $a_{k}$ стоит на разных позициях,а если $a_{k}$ стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной $n = k - 1$ (см. (3), (4)). Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построению, от разных перестановок — имеют $a_{k}$ на одной и той же позиции, но отличаются в одной транспозиции, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, см (3), (4)). Таким образом мы получили $k!$ различных перестановок длиной $k$, отличающихся в одной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной $n$ получен.

Пример применения алгоритма

Рассмотрим код Грея для длины $n = 2$:

{2, 1}

{1, 2}

Тогда следуя алгоритму полученный код будет выглядеть так (жирным выделены элементы, которые поменялись):

• {3, 2, 1} — берем первую перестановку и добавляем в начало тройку
• {2, 3, 1} — двигаем до последней позиции
• {2, 1, 3}
• {1, 2, 3} — берем следующую перестановку и записываем тройку в конец
• {1, 3, 2} — двигаем в начало
• {3, 1, 2}

Код Грея получен.

Псевдокод получения следующего кода Грея

Пусть нам известен код Грея для длины $n - 1$, записанный в массив prev_perm[i](j), где $i$ - номер перестановки, $j$ - номер элемента этой перестановки (номерация начинается с единицы).

 t := false;  {булевская переменная отвечающая за порядок перебора true: от начала к концу false: от конца к началу}
 for i := 1 to (n - 1)! do  {перебираем все прошлые перестановки}
   if t = true then
     begin
     insert(prev_perm[i], t);  {вставляем в конец, если t = true}
     writeln(prev_perm[i]);
     for j := 1 to n - 1 do  {для каждой перестановки делаем n - 1 транспозиций} 
       begin
       swap(prev_perm[i](j), pred_perest[i](j + 1));  {меняем j и j + 1 элементы местами}
       t := false;
       writeln(prev_perm[i]);
       end;
     end
   else
     begin
     insert(prev_perm[i], t);  {вставляем в начало, если t = false}
     writeln(prev_perm[i]);
     for j := n - 1 downto 1 do
       begin
       swap(prev_perm[i](j), prev_perm[i](j + 1));  {меняем j и j + 1 элементы местами}
       t := true;
       writeln(prev_perm[i]);
       end;
     end;

Сведение задачи построения кода Грея для перестановок к графам

Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть граф, вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам $f$ и $g$, соединены ребром, если $g$ образуется из $f$ однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.

См. также

• Коды Грея
• Комбинаторные объекты
• Гамильтонов путь

Литература

Романовский, И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург 2003 стр. 39-41