Алгоритм масштабирования потока — алгоритм поиска максимального потока путём регулирования пропускной способности рёбер.
Этот алгоритм работает в предположении, что все пропускные способности рёбер целые.
Идея
Идея алгоритма в нахождении путей с высокой пропускной способностью в первую очередь, чтобы сразу сильно увеличивать поток по ним, а затем по всем остальным.
Пусть [math] G [/math] — граф, [math] \forall(u, v) \in EG \colon c(u,v) \in \mathbb{Z_+}, U = \max\limits_{(u, v) \in EG} c(u, v) [/math] — максимальная пропускная способность. Запишем пропускную способность каждого ребра в двоичном виде. Тогда каждое число будет занимать [math] \lfloor \log_2 U \rfloor + 1 = n + 1 [/math] бит.
[math] c(u, v) = \sum\limits_{i = 0}^n a_i(u, v) 2^n, a_i(u, v) \in {0, 1} [/math]
Методом Форда-Фалкерсона находим поток [math] f_0 [/math] для графа с урезанными пропускными способностями [math] c_0(u, v) = a_n(u, v) [/math].
Добавим следующий бит и находим следующее приближение для графа с новыми пропускными способностями [math] c_1(u, v) = 2 a_n(u, v) + a_{n - 1}(u, v) - 2 f_0(u, v) [/math].
После [math] n + 1 [/math] итерации получим ответ к задаче, так как после с каждым шагом приближение становится точнее.
Оценка сложности
| Утверждение: |
Время работы алгоритма — [math] O(E^2 \log U) [/math]. |
| [math]\triangleright[/math] |
|
На каждом шаге алгоритм выполняет в худшем случае [math]O(E)[/math] увеличений потока. Докажем это. Пусть [math]\Delta = 2^k[/math]. В конце шага множество вершин графа можно разбить на две части: [math]A_k[/math] и [math]\overline{A_k}[/math]. Все рёбра, выходящие из [math]A_k[/math], имеют остаточную пропускную способность менее [math]2^k[/math]. Наибольшее количество рёбер между [math]A_k[/math] и [math]\overline{A_k}[/math] равно [math]E[/math]. Следовательно, остаточный поток (поток, который может быть получен на оставшихся шагах) на фазе с текущим значением [math]k[/math] максимально составляет [math]2^kE[/math]. Каждый увеличивающий путь при данном [math]k[/math] имеет пропускную способность как минимум [math]2^k[/math]. На предыдущем шаге, с масштабом [math]k+1[/math], остаточный поток ограничен [math]2^{k+1}E[/math]. Значит максимальное число появившихся увеличивающих путей равно [math]2E[/math]. Увеличивающий путь можно найти за [math]O(E)[/math], используя BFS. Количество шагов [math]O(\log_2U)[/math]. Итоговая сложность [math]O(E^2\log_2U)[/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Псевдокод
Capacity-Scaling
[math] f \leftarrow 0 [/math]
[math] \Delta \leftarrow 2^{\lfloor \log_2 U \rfloor}[/math]
while [math] \Delta \gt 0[/math]
do while в [math]G_f[/math] существует [math]s-t[/math] путь с пропускной способностью большей [math]\Delta[/math]
do [math]P\leftarrow[/math] путь с пропускной способностью большей [math]\Delta[/math]
[math]\delta\leftarrow\min\{c_{ij}\colon(i,j)\in P\}[/math]
увеличить поток по рёбрам [math]P[/math] на [math]\delta[/math]
обновить [math]G_f[/math]
[math]f\leftarrow f+\delta[/math]
[math]\Delta\leftarrow\Delta/2[/math]
Литература
