Коды Грея для перестановок
<wikitex>
Определения
| Определение: |
| Коды Грея для перестановок — упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией. Элементарная транспозиция — транспозиция двух соседних элементов. |
Примеры кодов Грея для перестановок
| $n = 2$ | $\{1, 2\}$ | $\{2, 1\}$ | ||||
| $n = 3$ | $\{1, 2, 3\}$ | $\{1, 3, 2\}$ | $\{3, 1, 2\}$ | $\{3, 2, 1\}$ | $\{2, 3, 1\}$ | $\{2, 1, 3\}$ |
Построение кода Грея для перестановок
Будем строить код Грея для длины $n = k$. Предположим, что нам известен код Грея для перестановок длиной $k - 1$. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: $\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
Сначала запишем $k$ в начало этой перестановки, после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (подчёркнуты пары переставляемых элементов).
- $\{\underline{k, a_1}, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
- $\{a_1, \underline{k, a_2}, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
- $\{a_1, a_2, \underline{k, a_3}, \dots, a_{k-1}\}$
- $\{a_1, a_2, a_3, \underline{k, \dots}, a_{k-1}\}$
- $\{a_1, a_2, a_3, \dots, \underline{k, a_{k-1}}\}$
- $\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}, k\}$
Получим $k$ различных перестановок, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, которая будет выглядеть так (т.к. мы получили, что элемент стоящий на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо см. (1), (2), то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторым):
$\{a_2, a_1, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
Элемент $a_{k}$ записываем в конец и начинаем "двигать" его влево:
- $\{a_2, a_1, a_3, \dots, \underline{a_{k-1}, k}\}$ (4)
- $\{a_2, a_1, a_3, \underline{\dots, k}, a_{k-1}\}$
- $\{a_2, a_1, \underline{a_3, k}, \dots, a_{k-1}\}$
- $\{a_2, \underline{a_1, k}, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
- $\{\underline{a_2, k}, a_1, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
- $\{k, a_2, a_1, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
Опять получили $k$ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Далее берем третью строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, записываем в ее начало элемент $a_{k}$ и двигаем его вправо, как для первой перестановки и т.д.
Для каждой перестановки длиной $n = k - 1$ (всего их $(k - 1)!$) мы получили $k$ новых перестановок. Итого $k\cdot(k - 1)! = k!$ перестановок. Все они различны, т.к. для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент $a_{k}$ стоит на разных позициях,а если $a_{k}$ стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной $n = k - 1$ (см. (3), (4)). Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построению, от разных перестановок — имеют $a_{k}$ на одной и той же позиции, но отличаются в одной транспозиции, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, см (3), (4)). Таким образом мы получили $k!$ различных перестановок длиной $k$, отличающихся в одной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной $n$ получен.
Пример применения алгоритма
Рассмотрим код Грея для длины $n = 2$:
{2, 1}
{1, 2}
Тогда следуя алгоритму полученный код будет выглядеть так (подчёркнуты пары переставляемых элементов):
- $\{\underline{3, 2}, 1\}$ — берем первую перестановку и добавляем в начало тройку
- $\{2, \underline{3, 1}\}$ — двигаем до последней позиции
- $\{\underline{2, 1}, 3\}$
- $\{1, \underline{2, 3}\}$ — берем следующую перестановку и записываем тройку в конец
- $\{\underline{1, 3}, 2\}$ — двигаем в начало
- $\{3, 1, 2\}$
Код Грея получен.
Псевдокод получения следующего кода Грея
Пусть нам известен код Грея для длины $n - 1$, записанный в массив prev_perm[i](j), где $i$ - номер перестановки, $j$ - номер элемента этой перестановки (номерация начинается с единицы).
t := false; {булевская переменная отвечающая за порядок перебора true: от начала к концу false: от конца к началу}
for i := 1 to (n - 1)! do {перебираем все перестановки}
begin
insert(t);
for j := 1 to n do
begin
swap(t);
writeln(perm);
end;
end;
Сведение задачи построения кода Грея для перестановок к графам
Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть граф, вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам $f$ и $g$, соединены ребром, если $g$ образуется из $f$ однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.
См. также
Литература
Романовский, И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург 2003 стр. 39-41
