Первообразные корни

Первообразные корни

Количество первообразных корней

• Определение. [math]g[/math] называется первообразным корнем по модулю n, если [math]ord(g)=[/math]φ[math](n)[/math]
  

Где [math]ord[/math] - порядок числа, а φ - функция Эйлера.

• Теорема. Пусть [math]g[/math] - первообразный корень по модулю [math]p[/math][math]\in\mathbb{P}[/math]. Тогда [math]g[/math]^a - первообразный корень по модулю [math]p[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] НОД[math](a;p-1)=1[/math].
  
• Доказательство (прямая теорема)
  

Так как g^a - первообразный корень, значит (g^a)^φ(p)=1, но p[math]\in\mathbb{P}[/math], поэтому φ(p)=p-1, значит (g^a)^p-1=1, и это же справедливо для g: g^p-1=1. Пусть НОД(a;p-1)=k, k>1, тогда [math]1=g^{p-1}=(g^{p-1})^{\frac{a}{k}}=(g^{\frac{p-1}{k}})^a=(g^a)^{\frac{p-1}{k}}[/math]. Но, по определению ord, [math]p-1[/math] - минимальная степень, в которую следует возвести [math]g^a[/math], чтобы получить единицу, а [math]\frac{p-1}{k}\lt p-1[/math]. Получили противоречие, теорема доказана.

• Доказательство (обратная теорема)
  

Пусть существует k такое, что [math]g^{a\cdot k}=1[/math], и [math]k\lt p-1[/math]. Но [math]g^{p-1}=1[/math], значит [math]g^{a\cdot k}=g^{p-1}[/math]. Следовательно либо [math](a*k) \vdots (p-1)[/math], либо [math](p-1) \vdots (a*k)[/math]. Но по определению первообразного корня, и ord, [math]p-1 \leqslant a*k[/math], то есть [math](a*k) \vdots (p-1)[/math], а так как НОД[math](a; p-1)=1[/math], то [math]k \vdots (p-1) \Rightarrow p-1 \leqslant k[/math], что противоречит нашему предположению. Обратная теорема доказана.

• Следствие (из обратной теоремы) Количество различных первообразных корней по модулю p равно φ(p-1).
  

Доказательство
Пусть g - первообразный корень.
Во-первых, при [math]a=k*(p-1)+b \text{, }b\lt p-1 \colon g^a=(g^{p-1})^{k}*g^b=1\cdot g^{b}[/math]. Таким образом есть смысл рассматривать только первообразные корни, образованные из исходного, путем возведения в степень не выше [math]p-1[/math].
Во-вторых, исходный первообразный корень существует, так как мультипликативная группа поля вычетов [math]\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}[/math] циклична (то есть [math]\exists a\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\colon\forall b\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \text{ } \exists k\colon a^k=b[/math]).
По доказанной обратной теореме [math]\forall a \colon с (a \text{; } p-1)=1 \Rightarrow g^a[/math] - первообразный корень. С другой стороны для любого другого a, по прямой теореме [math]g^a[/math] не является первообразным корнем. Но по определению [math]\varphi(p-1)[/math] равно количеству [math]a \colon [/math] НОД [math](a;p-1)=1[/math]. Очевидно, для всех [math]a\lt p-1\text{, }g^a[/math] различны. Теорема доказана.

Теорема о существовании первообразных корней по модулям [math]4 \text{, }p^n \text{, }2 \cdot p^n[/math]